Linear homogenes DGL System AWP lösen

Question

Hallo könnte mir jemand erklärend folgende Aufgabe vorrechnen?

Danke

Answer 1

Hallo if1888, die Matrix dieses Differenzialgleichungssystems lautet
-1 0 1
0 -1 1
1 1 -3
Bitte berechne im ersten Schritt die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix.  Wenn du dazu Fragen hast, frag ruhig.  Wenn du damit fertig bist, helfe ich dir weiter.

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Und wie gehts weiter.

Habe folgende 3 Ew

X1=((-√3+1)/2, (-√3+1)/2, 1)^T *C

X2=((√3+1)/2, (√3+1)/2, 1)^T *C

X3=(-1, 1, 0)*a

Noch eine Frage, wie sind Sie auf die Matrix gekommen?

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Hallo Rokko, das Differenzialgleichungssystem kann man umschreiben zu
(x1_Punkt)     (-1 0 1)    (x1)
(x2_Punkt) =  (0 -1 1) * (x2)
(x3_Punkt)     (1 1 -3)    (x3)

=> x_Punkt = A * x   mit x_Punkt und x Vektoren, A Matrix

Jetzt zu den Eigenwerten.  Welche Eigenwerte hast du?  Das, was du geschrieben hast, sind *Eigenvektoren*, und die sind korrekt.

Es gilt, siehe Wikipedia „Diagonalisierung“,
D = S^-1 * A * S,
wobei S eine Matrix ist, die aus v1 bis v3 zusammengesetzt ist.  D ist eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten.  Überzeuge dich mit dem Taschenrechner, dass das korrekt ist.

Weiter siehe Bilder.

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Ich kann leider das 1. Bild nicht erkennen..

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Hallo Rokko, alles klar.  Ich bin eigentlich ein Formeleditor-Verweigerer, aber ich verstehe dich.  Ich probiere es mal so, ohne Formeleditor, aber wenigstens getippt statt handschriftlich:
Es gilt x_Punkt = A * x   |   S^-1 *
S^-1 * x_Punkt = S^-1 * A * x   |   Substitution S^-1 * x = y
y_Punkt = S^-1 * A * S * y   |   Wikipedia “Diagonalisierung”:  D = S^-1 * A * S
y_Punkt = D * y
D ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A.  Wir haben jetzt ein diagonalisiertes lineares Differenzialgleichungssystem.  Aufgeteilt in einzelne skalare Gleichungen:
y1 = lambda1 * y
y2 = lambda2 * y
y3 = lambda3 * y
Lösung :
y1 = c1 * exp(lambda1 * t)
y2 = c2 * exp(lambda2 * t)
y3 = c3 * exp(lambda3 * t)
Hast du noch Fragen ?

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Das Ganze jetzt mit dem Formeleditor:
$$ \dot { x } =A\cdot x\quad |\quad { S }^{ -1 }\cdot  $$
$$ { S }^{ -1 }\cdot \dot { x } ={ S }^{ -1 }\cdot A\cdot x\quad |\quad Substitution\quad { S }^{ -1 }\cdot x=y $$
Boah, das mit dem Formeleditor dauert Stunden.  Mach ich nur, wenn du mit dem Anderen nicht klar kommst.  Dann gib mir bitte Bescheid.

Answer 2

habs auch mal gerechnet:

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Und wie gehts weiter?