De Morgansche Gesetz

Question

Was sind die Komplementärmengen von A und B

Und wie Zeigt man die Validität des Ausdrucks?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Komplementärmenge von A?

Stichworte: mengen,mengenlehre,komplement

A = {x : 1 ≤ x ≤ 12 und x ist eine gerade ganze Zahl}

A = 2,4,6,8,10,12

Komplementärmenge von A =??

Grundmenge ist nicht gegeben

ganze Aufgabe:

A = {x : 1 ≤ x ≤ 12 und x ist eine gerade ganze Zahl} 

B = {x : 1 ≤ x ≤ 12 und x ist ein ganzzahliges Vielfaches von 3} .

 Zeigen Sie, dass (A ∩ B) = A¯ ∪ B¯ . (A¯ bezeichnet das Komplement der Menge A) .

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Prüfst du mal bitte die Aussage

(A ∩ B) = A¯ ∪ B¯

Das dürfte so sicher verkehrt sein

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Wenn die Grundmenge unbekannt ist, kannn man die Komplementärmenge nicht wissen.

(A ∩ B) = A¯ ∪ B¯ gilt im Allgemeinen nicht. Das fehlt wohl der Komplementstrich über der Klammer?

Answer 1

Schau mal unter 

https://www.youtube.com/results?search_query=de+morgan+beweis

Comments

Kapiert hab ich es schon, möchte hauptsächlich wissen was das Komplement zu A ist

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Du kannst als Grundmenge bei dir G = {1, 2, 3, ..., 12} nehmen. Wichtig ist ja nur, das sowohl A als auch B Teilmengen von G sind.

Answer 2

Hallo Peter,

die Komplementärmenge zu \(A\) ist die Menge aller Zahlen, die nicht(!) in \(A\) enthalten sind. ich beschränke mich hier  mal auf die Zahlen von 1 bis 12. Wenn \(A=\{ 2; 4; 6; 8; 10; 12\}\) ist, dann ist \(\bar A = \{ 1; 3; 5; 7; 9; 11\}\). Und \(\bar B= \{1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11\}\)

$$\bar{A\cap B} = \neg (\{ 2; 4; 6; 8; 10; 12\} \cap \{ 3; 6; 9; 12\}) = \neg\{6 ; 12\} = \{ 1..5; 7..11\}$$

Genauso ist

$$\bar A \cup \bar B = \{ 1; 3; 5; 7; 9; 11\} \cup \{1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11\} = \{ 1..5; 7..11\}$$

Die Validät prüfst Du über eine Wahrheitstabelle.

	\(A\)	\(B\)	\(\bar A\)	\(\bar B\)	\(\bar{A \cap B}\)	\(\bar A \cup \bar B\)
	0	0	1	1	1	1
	0	1	1	0	1	1
	1	0	0	1	1	1
	1	1	0	0	0	0

Gruß Werner