geordnete Zahlenpaare (a,b)=(c,d)

Question

wir sollen hier einen Beweis bringen, dass aus (a,b) und (c,d) stets a=c und b=d folgt . In der englischen Wikipedia ist zumindest  a=c erklärt

1. Frage:   warum ist der logische Schluss dass auch b=d ist ?

2. Frage: Funktioniert es nur, dass a=c ^b=d wenn a=b ist?

3. Frage: warum kann ich (a,b) so schreiben  {{a}, {a, b}}, was würde  {{a}, {b}} bedeuten?

sorry ich kopier hier mal die Quelle dazu:

If. If a = c and b = d, then {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Thus (a, b)_K = (c, d)_K.

Only if. Two cases: a = b, and a ≠ b.

If a = b:

(a, b)_K = {{a}, {a, b}} = {{a}, {a, a}} = {{a}}.(c, d)_K = {{c}, {c, d}} = {{a}}.Thus {c} = {c, d} = {a}, which implies a = c and a = d. By hypothesis, a = b. Hence b = d.

If a ≠ b, then (a, b)_K = (c, d)_K implies {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.

Suppose {c, d} = {a}. Then c = d = a, and so {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{a}}. But then {{a}, {a, b}} would also equal {{a}}, so that b = a which contradicts a ≠ b.Suppose {c} = {a, b}. Then a = b = c, which also contradicts a ≠ b.Therefore {c} = {a}, so that c = a and {c, d} = {a, b}.If d = a were true, then {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b}, a contradiction. Thus d = b is the case, so that a = c and b = d.

Comments

Dazu müsstest du mal eure Definition von (a,b) und von (a,b)=(c,d) nennen.

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Wir definieren geordnete Paare (a,b) als Mengen der Gestalt {{a},{a,b}}

 

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dass aus (a,b) und (c,d) stets a=c und b=d folgt

Kannst Du diesen Satz so umformulieren, dass er einen Sinn bekommt?

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Beweisen Sie anhand der Definition des geordneten Paars, dass aus (a,b) und (c,d) stets a=c und b=d folgt.

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+Geben Sie ein Beispiel für Elemente a,b,c,d an, für die {a,{b}}={c,{d}} gilt, aber nicht a=c und b=d. Ich finde das als Einstieg in die Vorlesung schon ziemlich schwer. Gerade, weil die Beweise im Abitur gar nicht gefordert werden.

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Wenn Du selbst nach Rueckfrage immer noch auf "..., dass aus (a,b) und (c,d) stets a=c und b=d folgt" bestehst, muss man annehmen, dass Du ueberhaupt nicht weisst, worum es geht. Da brauchst Du dann auch nichts zu beweisen.

Es muss  (*) "..., dass aus (a,b) = (c,d) stets a=c und b=d folgt" heissen.

Geordnete Paare kann man entweder durch diese Bedingung definieren oder (wenn man keine neuen Objekte einfuehren moechte) ueber den Mengenbegriff nachbauen. Dazu muss man die Komponenten und die Positionen der Komponenten passend kodieren, weil Mengen keine Reihenfolge der Elemente kennen und auch keine Doubletten enthalten koennen.

Bei (a,b) := {{a}, {a,b}} ist die Idee offensichtlich, dass die einelementige Menge {a} die erste Komponente und die zweielementige Menge {a, b} die zweite Komponente kodieren soll. Nun muss man bloss noch testen, ob das aufgeht, und (*) wirklich gilt.

Die zweite Aufgabe zeigt einen anderen Kodierungsversuch, der aber nicht klappt.

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Sorry, das war dann ein Missverständnis. Ich könnte mir vielleicht vorstellen, dass es mit der Reihenfolge der Glieder des Zahlenpaars zusammenhängt. Aber wie gesagt, man ist nach dem Abitur mit solchen Aufgaben zu Beginn des Studiums konfrontiert und ich versuche es mir momentan zu erschließen.

*Edit,  sorry '=' sollte es heißen.

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Siehe oben, ich hab's da ergaenzt.

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Danke. Was wären "neue Objekte" oder wie würde man neue Objekte einführen?

Warum wird die erste Komponente durch eine einelementige Menge und die zweite Komponente durch eine zweielementige Menge repräsentiert?  Die Reihenfolge lässt sich doch trotzdem innerhalb der Menge vertauschen.

Wäre eine Möglichkeit nun spaßeshalber für (a,b) = (c,d) a=b anzunehmen, um dann zu zeigen:

(a,b) = {{a}, {a,b}} 

{{a}, {a,a}} = {{a},{a}} ={{a}} 

(a,b)=(c,d)

{{a}}={{c}, {c,d}}

Answer 1

Hallo bahamas

wir sollen hier einen Beweis bringen, dass aus (a,b) und (c,d) stets a=c und b=d folgt .

1. Frage:   warum ist der logische Schluss dass auch b=d ist ?

2. Frage: Funktioniert es nur, dass a=c ^b=d wenn a=b ist?

Da gibt es nichts zu beweisen, die Gleichheit eines geordneten Paars ist so definiert https://de.wikipedia.org/wiki/Geordnetes_Paar#Gleichheit_geordneter_Paare

3. Frage: warum kann ich (a,b) so schreiben  {{a}, {a, b}},

Diese Darstellung hat sich Kazimierz Kuratowski einfallen lassen(steht auch auf der verlinkten Webseite).

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Ein geordnetes Paar (x, y) lässt sich auch als ein Element eines kartesischen Produkts ℝ x ℝ auffassen.
Dann ist (x, y) ein Punkt im kartesischen Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y und wir schreiben P = (x, y). https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem

Damit ist anschaulich klar, dass (a, b) = (x, y) genau dann gilt, wenn a = x und b = y ist, denn nur dann sind (a, b) und (x, y) Punkte im kartesischen Koordinatensystem, der sich an derselben Stelle befinden.

Answer 2

Es scheint doch darum zu gehen, ob mit der Kuratowski-Definition

die übliche Erkenntnis

(a,b) = (c,d) <==> ( a=c) ∧ (b=d)

nachweisbar ist.

Könnte doch wohl so gehen , zumindest für a≠b und c≠d

(a,b) = (c,d)

<==>   {{a},{a,b}} =  {{c},{c,d}}

Und Gleichheit zweier Mengen bedeutet doch:

Alle Elemente der rechten Menge sind in der linken

und umgekehrt.

Also muss insbesonder {a} ∈  {{c},{c,d}} gelten. 

Also  {a}  = {c}  oder {a} = {c,d} 

wäre {a} = {c,d, dann müsste c∈ {a} und d∈ {a} gelten,

also c=a und d=a im Widerspruch zu  c≠d.

Also gilt   {a}  = {c}  und damit a=c.

Außerdem muss das zweite Element von  {{a},{a,b}}

in   {{c},{c,d}} sein, also 

 {a,b}=  {c}  oder  {a,b} = {c,d} gelten.

Da schon a=c gezeigt ist wird daraus

 {a,b}=  {a}  oder  {a,b} = {a,d}

wegen a≠b ist die erste Gleichheit falsch und

man bekommt aus der zweiten  b=d.

Dann noch den Fall a=b oder c=d abhandeln

(So ähnlich wie bei deinem letzten Kommentar.)