Wahrscheinlichkeit von Kugeln aus einer Gesamtmenge

Question

Hier meine Frage

 

Ich habe eine Grundgesamtheit von 90000 Kugeln

Kunde 1 bekommt 5000 Kugeln.

Es existieren 7 schlechte Kugeln.

 

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das Kunde 1:  1 schlechte / 2 schlechte / ...../ 7 schlechte Kugeln bekommt. ??

 

Könnt ihr mir bitte eine Formel dazu liefern mit der ich das berechnen kann?

 

Besten Dank

Jasmin

Comments

Wenn man's exakt will, muss man mit folgender Formel rechnen.

Als Bsp.

oben: (günstige Ausfälle) 1 Kugel von 7 schlechten und 4999 gute Kugeln

unten: (mögliche Ausfälle): 5000 aus 90'000

 

\frac { \left( \begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 89'993 \\ 4999 \end{matrix} \right)  }{ \left( \begin{matrix} 90'000 \\ 5000 \end{matrix} \right)  } 

Nun ist aber diese Formel für so grosse Fakultäten nicht berechenbar. 

Du kannst versuchen schlau zu kürzen. Wenn das nicht möglich ist, brauchst du eine näherungsweise Berechnung. Da ist die Frage, welche Genauigkeit das Ergebnis haben soll, resp. welche Annahmen ihr macht.

Answer 1

Da es nur eine verschwindend kleine Zahl schlechte Kugeln hat und ein grosser Unterschied zwischen der Zahl vorhandener zu den zu ziehenden Kugeln besteht, könnte man hier eine gute Näherung erzielen, wenn man hier mit dem Modell "mit Zurücklegen" rechnet. Die exakte Lösung ist das aber nicht:

p(eine schlechte Kugel) ≅ 5000 * (7/90000)¹ * (89993/90000)⁴⁹⁹⁹= 26,36%

Lu's exakte Formel ergibt (falls mein Programm stimmt) 27,5 % für eine schlechte Kugel

p(k schlechte Kugeln) ≅ (5000 tief k) * (7/90000)^k * (89993/90000)^5000-k

(5000 tief k) = 5000 * 4999 * 4998 * ... * (5000-k) / k!  Da k≤7 ist, ist das mit wenig Aufwand zu berechnen

Answer 2

Wir rechnen wie schon gesagt mit der Hypergeometrischen Verteilung:

binomial(7,1) * binomial(89993,4999) / binomial(90000,5000) = 27,6%
binomial(7,2) * binomial(89993,4998) / binomial(90000,5000) = 4,9%
binomial(7,3) * binomial(89993,4997) / binomial(90000,5000) = 0,5%
binomial(7,4) * binomial(89993,4996) / binomial(90000,5000) = 0,03%
binomial(7,5) * binomial(89993,4995) / binomial(90000,5000) = etwa 0%
binomial(7,6) * binomial(89993,4994) / binomial(90000,5000) = etwa 0%
binomial(7,7) * binomial(89993,4993) / binomial(90000,5000) = etwa 0%

Nähere Informationen zur Hypergeometrischen Verteilung findet man unter:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung