Binom - Wieso ist das das Gleiche? (m-n)^{2} = (n-m)^{2}

Question

In einer Aufgabe (Bruchrechnung) kam folgender Ausdruck im Zähler vor: (n-m)^{2} dieser sollte, mit dem im Nenner liegenden Ausdruck : (m-n)^{2} gekürzt werden.

Dazu wurde ersterer, ohne das minus auszuklammern einfach zu (m-n)^{2} umgeschrieben.

Demnach soll gelten:

(m-n)^{2} = (n-m)^{2}

Wieso gilt das?

Ist (x - x_(1))^{2} auch gleich (x_(1) - x)^{2}

Comments

Grund ist allgemein (-a)^2 = a^2 , für a ∈ ℝ

Du kannst für a z.B. m-n einsetzen. Dann ist (-a) = -(m-n) = n-m .

Answer 1

Demnach soll gelten:

(m-n)² = (n-m)²

Dann mulipliziere einmal aus

m^2 - 2mn + n^2 = n^2 - 2mn +m^2

Stimmt.

Comments

Vielen Dank ! 

Kann man neben dem Ausmultiplizieren sagen, wieso das gilt?
Klar, aber wieso (und wo) gilt das auch wenn ich nicht weiss, was ich für m oder n einsetze? Oder spielt es eine Rolle, was ich für m und n einsetze, erst wenn ich eine Gleichung habe?
(m-n)^{2} = 0 zum Beispiel. 

All das habe ich gestern im unterricht nicht gesehen, also dass man m und n vertauschen darf ohne ein "Minus" auszuklammern. 

Dann wurde, weil es niemand wusste, gezeigt dass

(3-5)^{2} = 4 = (5-3)^{2}

Absolut nachvollziehbar. 

Vertauschen bei Binom. Formel welche Variabel "x" Enthält?
Wie verhält es sich aber mit Binomischen Formeln dieser Form:
(x-4)^{2} = (x-4)(x-4) = (4-x)(4-x) ? 

Vertauschen auch bei 3. Binomischen Formel?
Es gibt ja auch die 3. BInomische Formel, zum Beispiel:

1-4p^{2} = (1-2p)(1+2p) darf ich hier auch sagen dass es gleich (2p-1)(2p+1) ist?

Wichtige Frage:
Gilt das mit dem Ausklammern, was ich die ganze Zeit meine, nur für Klammerausdrücke der Form (a-b) = -(b-a) ?

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bei
a - b = d bildest du die Differenz von 2 Zahlen
b - a = - d ist auch die Differenz aber mit umgehrtem
Vorzeichen.

Durch das Quadrieren werden beide Differenzen
positiv

( d ) ^2 = + d * + d = + d^2
( -d )^2 = - d * - d = + d^2

Außerdem ist durch das ausmultiplizieren
schon der Beweis erbracht worden das
( a -b )^2 = ( b - a )^2 ist

Answer 2

(m-n)^2 = ((-1)(n-m))^2 = (-1)^2*(n-m)^2 = 1*(n-m)^2 = (n-m)^2

Comments

vielen Dank, meine Überlegungen in der Antwort von unten wollte ich eigentlich auch dir antworten. :)

Answer 3

das gilt, weil

(m-n)^2=(-(n-m))^2=(-1)^2 (n-m)^2=(n-m)^2

Comments

Super, also klammere ich in der Tat die -1 aus, dadurch vertauschen sich die Variabeln in der Klammer, wobei das Operationszeichen bestehen bleibt. 
Anschliessend Quadriere ich, weil ich ein Produkt habe, nach dieser Regel:

(a-b)^{2} = [ (-1) * (b-a) ]^{2} = [ (-1)^{2} * (b-a)^{2} ] 

So wird in der Klammer selbst aus:

1.) (-1)^{2} = 1

2.) (b-a)^{2} = (b-a)(b-a)

Zusammengefasst ergibt das: 1*(b-a)^{2} = (b-a)^{2}

Also kam ich von (a-b)^{2} zu (b-a)^{2}


Unter der berücksichtigung, dass anderst als bei der Binomischen Formel der Exponent bei einem Produkt in die Klammer jeweils zu den einzelnen Faktoren "geht". 

(a*b)^{2} = (a^{2} * b^{2}) 


Sind meine Überlegungen richtig?

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Jupp genauso ist es :)

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Vielen Dank für die Antwort, nun ist für mich geklärt wieso das so ist und komplett nachvollziehbar.