Zeigen Sie, dass der Graph an der Stelle x=4 eine Doppelnullstelle hat

Question

Gegeben ist die Funktion

 f(x)= -x^3+9x^2-24x+16 

Zeigen Sie, dass der Graph an der Stelle x=4 eine Doppelnullstelle hat

Comments

Da gäbe es mehrere Möglichkeiten. Welche ziehst du denn so in Erwägung?

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Hornerschema? Bzw. Pq Formel?

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Ok, das sind sind schon mal zwei mögliche Wege.

Mit dem Horner-Schema kannst du sofort loslegen, als Vorbereitung für die pq-Formel müsstest du den Linearfaktor (x-4) herausteilen und vorher oder nachher das Minus vorne beseitigen.

Ein anderer Weg besteht in der Überlegung, dass eine Doppelnullstelle eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel sein muss, hier also eine Extremstelle vorliegt...

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Ein vierter Weg besteht darin, mal nach der noch fehlenden dritten Nullstelle Ausschau zu halten.

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Wie erkennt man ob es sich um eine einfache, doppelte nullstelle handelt?

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Bei ganzrationalen Funktionen ist \(x=a\)

eine einfache Nullstelle, wenn \(f(a)=0\) und \(f'(a)\ne0\) ist,

eine zweifache Nullstelle, wenn \(f(a)=f'(a)=0\) und \(f''(a)\ne0\) ist,

eine dreifache Nullstelle, wenn \(f(a)=f'(a)=f''(a)=0\) und \(f'''(a)\ne0\) ist

und so weiter.

Dies wäre ein mögliches Kriterium.

Answer 1

Wenn du per Hornerschema oder Polynomdivision anfängst, erhältst du

f(x) = - (x² -5x + 4) *  (x-4)

und der quadratische Term hat auch eine Nullstelle bei x=4.

Das ist eine und der Linearfaktor liefert auch eine,

also doppelt .

Answer 2

x = 4 einsetzen um zu sehen ob dies eine
Nullstelle ist.
Ja.
Eine Polynomdivision
-x^3+9*x^2-24*x+16 / x-4
ergibt die weiteren Lösungen x = 1 und x = 4.
x = 4 ist eine doppelte Nullstelle.

Answer 3

Zeigen Sie, dass der Graph an der Stelle \(x=4\) eine Doppelnullstelle hat.

Im Punkt \(P (4|0)\)  ist ein Extremwert:

\(f(x)= -x^3+9x^2-24x+16\)

\(f'(x)= -3x^2+18x-24\)

\( -3x^2+18x-24=0\)

\( x^2-6x=-8\)

\( (x-3)^2=-8+9=1|±\sqrt{~~}\)

1.)

\( x-3=1\)

\( x_1=4\)     \(f(4)= 0\)

2.)

\( x-3=-1\)

\( x_2=2\)