Question

Induktion von Binomialkoeffizienten und Binomischer Lehrsatz

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Schönes Foto!

Könntest du noch irgendwelche Fragen, Ansätze oder Ideen beisteuern?

PS: Und was soll der Hinweis auf Binomialkoeffizienten? Von denen ist doch gar nicht die Rede, oder?

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In Aufgabe 3 geht es um Fakultäten, deswegen habe ich noch "Binomialkoeffizienten" in den Titel geschrieben.

Was meinst du denn mit Ideen etc. ?

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Mit "Ideen etc." meinte ich, dass du etwas zur Bearbeitung der Aufgaben beisteuern musst, da sonst der Eindruck entsteht, du würdest jemanden suchen, der deine Hausaufgaben erledigt. Letzteres solltest du zumindest in Teilen schon selbst hinbekommen oder du sitzt im falschen Studiengang.

Answer 1

$$ \mathbf{Aufgabe \ 3} $$

Den Induktionsanfang mit \( n = 5 \) kann man nachrechnen.
Aus der \( \mathbf{IV}\) folgt $$ (n+1)! \ge n^2(n+1)(n-2)  $$
Zu zeigen ist das gilt $$ n^2(n+1)(n-2) \ge (n-1)(n+1)^2 $$ also
$$ n^2(n-2) \ge n^2-1 $$
Mit dem Tipp folgt für die linke Seite \( n^2(n-2) \ge 5n(n-2) = 5n^2-10n \) und das ist größer als \( n^2 -1 \)



$$ \mathbf{Aufgabe \ 4} $$

$$ m^5 - m = m(m^4 - 1) = m(m^2+1)(m+1)(m-1)  $$
Jede natürliche Zahl kann man schreiben als \( 5n + a \) mit \( a = 0,1,2,3,4 \)
Für \( a = 0 \) ist der erste Faktor ein velfaches von 5. Für \( a = 1 \) der letzte Faktor, für \( a = 2,3 \) der zweite und für \( a = 4 \) der dritte Faktor.