Fassungsvermögen des Woks berechnen über Mantelfläche einer Kugelschicht einer Kugel - Integral und Rotation

Question

Die Form eines Woks kann näherungsweise durch die Mantelfläche einer Kugelschicht einer Kugel mit dem Radius r = 25 cm beschrieben werden. Die Kugelschicht hat eine Höhe von 9 cm und einen oberen Durchmesser von 40 cm. Berechnen Sie das Fassungsvermögen des Woks.

Ich habe jetzt die Funktion für den Halbkreis herausgefunden: f(x)= √625-x², aber weiter komme ich nicht.

Answer 1

Hallo emra,

Wenn man den Mittelpunkt des Kreises in den Ursprung legt und das Bild um 90° gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung dreht, hat man:

Kreisgleichung:   x² + y² = 25²  →   y = ± √(625 - x²)    [ oberer und unterer Halbkreis ]

Das Volumen des Woks ergibt sich als Rotationsvolumen der getönten Fläche

um die x-Achse:

V_rot  =  π · _x1∫^x2  y² dx  =  π · ₁₆∫²⁵ (625 - x²) dx  = π · [ 625·x - x³/3 ]₁₆²⁵

         =  ...  =  01782 π  ≈ 5598  [ cm³ ]   

Gruß Wofgang

Comments

Diese Antwort ist sehr einleuchtend, kurz und prägnant. Weiter so!

Answer 2

Nr 7
Wir drehen den Kreis um 90 ° gegen den
Uhrzeigersinn. Der orangene Teil ( Wok )
ist dann auf der rechten Seite.

Kreisformel
25^2 = x^2 + y^2
f ( x ) = √ ( 25^2 - x^2  )

Fläche an der Stelle x

A ( x ) = f ( x ) ^2 * π
A ( x ) = ( 25^2 - x^2 ) * π

Stammfunktion Volumen
∫ A ( x ) dx
∫  ( 25^2 - x^2 ) * π dx
π *  ∫  ( 25^2 - x^2 ) dx
π * ( 625 * x - x^3 / 3 )

Das Volumen des Wok liegt zwischen
x = 16 cm bis x = 25 cm

π * [ 625 * x - x^3 / 3 ] 16 .. 25
5598

Comments

Das Ergebnis wurde überprüft und sollte so
stimmen.

Bei Bedarf nachfragen.

---

f ( x ) = 1/12 * ( x-1 ) * ( x -2 ) * ( x- 6 ) * ( x -7 )

Nullstellen
x = 1
x = 2
x = 6
x = 7

Fläche
A ( x ) = f ( x ) ^2 * π
Stanmmfunktion aufstellen
s ( x ) = ...  etwas komplizierter

[ s ( x ) ] zwischen 1 und 2
[ s ( x ) ] zwischen 2 und 6
[ s ( x ) ] zwischen 6 und 7
( ist dieselbe wie zwischen 1 und 2 )

Ist aber für heute Abend sicherlich etwas
zu spät.