Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f^{-1} : W→ V auch ein Isomorphismus ist

Question

Wie soll ich das beweisen?

Seien V und W zwei K-Vektorräume und sei f : V → W ein Isomorphismus.

Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f^{-1} : W→ V auch ein Isomorphismus ist.

Answer 1

Isomorphismus gilt nur, wenn die Abbildung linear ist. Du musst also zwei Dinge zeigen:

1. f^-1 ist eine Bijektion.

2. f^-1 ist linear.

Zu 1.: Ergibt sich aus der Definition.

Zu 2.: Seien w₁,w₂ ∈W, dann gilt f ^-1 (w₁ + w₂ ) = f ^-1 (f(f ^-1 (w₁ )) + f(f ^-1 (w₂ )))

= f ^-1 (f(f ^-1 (w₁ ) + f ^-1 (w₂ ))) (wegen der Linearität von f)

= f ^-1 (w₁ ) + f ^-1 (w₂ ).

Analog dazu kann die skalare Multiplikation behandelt werden.

Comments

Dank dir! Kannst du nochmal aufschreiben wie die skalre Multiplikation in diesem Fall aussehen würde?
das wäre sehr hilfreich

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Für w∈W und x∈K gilt:

f^-1 (xw) = f^-1(x*f(f^-1(w))) = f^-1(f(x*f^-1(w))) = x*f^-1(w)