Binomialkoeffizient beweis

Question

Ich hänge momentan an folgender Aufgabe:

Ich weiß, dass gilt:

$$ \begin{pmatrix} n\\k\\ \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Jedoch bin ich mir nicht so sicher, wie ich das hier beweisen soll.

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte...

Comments

Ich weiß, dass gilt: ... 

ist gut. Besser wäre, wenn du schreiben würdest: 

Ich weiß, dass gilt: (n tief 3) ist die Anzahl der dreielementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen. 

Das könnte man direkt anwenden bei a). Ist das unbekannt? 

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Danke.

Also:$$ \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} = \frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n!}{(n-3)!*3!}=\frac{n!}{(n-3)!*(n-n+3)}!=\frac{n!}{(n-3)!*(n-(n-3))}!=\begin{pmatrix} n\\n-3 \end{pmatrix}$$ ?

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Heisst das, du kennst die kombinatorische Interpretation der Binomialkoeffizienten nicht?

Du musst den linken Teil der Gleichung in a) irgendwie in eine Rechnung umsetzen.

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Hallo Lu. Meinst du das wie folgt?

Anzahl dreielementiger Mengen aus n Elementen:

n·(n - 1)·(n - 2) / 3!

= n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3)! / (3!·(n - 3)!)

= n! / (3!·(n - 3)!)

= (n über 3)

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Ich habe eventuell eine Idee zur (2)

Wir könnten hier doch das ganze in Fälle unterscheiden mit,  \(  a=b< c\) für \( \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}  \),  \(  a<b= c\) für \( \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}  \) und   \(  a=b= c\) für \( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}  \). Daraus würde folgen: \( \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}  \) bzw. \( \begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1\\3  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+2\\3 \end{pmatrix}  \).
Ich weiß aber nicht wie ich das ganze jetzt konkret beweisen soll..

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Kann hier vielleicht noch jemand helfen? :/

Answer 1

(n über 1) + 2·(n über 2) + (n über 3) = (n + 2 über 3)

n! / (1!·(n - 1)!) + 2·n! / (2!·(n - 2)!) + n! / (3!·(n - 3)!) = (n + 2)! / (3!·(n + 2 - 3)!)

3!·n! / (3!·(n - 1)!) + 3!·n!·(n - 1) / (3!·(n - 1)!) + n!·(n - 2)·(n - 1) / (3!·(n - 1)!) = (n + 2)! / (3!·(n - 1)!)

3!·n! + 3!·n!·(n - 1) + n!·(n - 2)·(n - 1) = (n + 2)!

n!·(3! + 3!·(n - 1) + (n - 2)·(n - 1)) = (n + 2)!

n!·(6 + 6·n - 6 + n^2 - 3·n + 2) = (n + 2)!

n!·(n^2 + 3·n + 2) = (n + 2)!

n!·(n + 1)·(n + 2) = (n + 2)!

Schaut gut aus.