Betragsungleichung lösen x ∈ R mit 1 - 6·(x + 3) / |2·x + 4| > -1

Question

Ich habe etwas probleme bei der Aufgabe hier.

für welche x ∈ R gilt:

 1-[(

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Ich hatte mir gedacht  ich betrachte die Fälle x≥-2 und x⟨-2.

Beim 1. kommt jedoch ein widerspruch heraus. x⟨-5 und  x≥-2

Bei Fall 2 kommt heraus x⟩-26/10, das müsste glaube ich dann auch stimmen? Aber Fall 1 passt nicht.

Answer 1

1 - 6·(x + 3) / |2·x + 4| > -1
|2·x + 4| - 6·(x + 3) > -|2·x + 4|
2·|2·x + 4| - 6·(x + 3) > 0
4·|x + 2| - 6·(x + 3) > 0

Fall 1: x < -2

-4·(x + 2) - 6·(x + 3) > 0
x < -2.6

Fall 2: x > -2

4·(x + 2) - 6·(x + 3) > 0
x < -5

Lösung
x < -2.6

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Das meinte ich bei meinem Beitrag mit dem Widerspruch.

Bei Fall 2 kann x doch nicht >-2 und gleichzeitig < -5 sein? Würde diese Lösung dann wegfallen und ich hätte als Endergebnis nur <-2,6?

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Richtig. Aus dem ersten Fall hat man L1 = { x €R | x<-2.6 } und aus dem zweiten Fall L2= { } , also "leere Menge"

Vereinigt miteinander gibt das nur L1.

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Ja super vielen Dank :) ich dachte nur meine Lösung sei falsch, da ein Widerspruch heraus kam

Answer 2

Forme zunächst um in 2-3(x+3)/|2+x|>0 und mache dann eie Fallunterschedung: 1.Fall x> - 2; 2.Fall x<-2.

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Alles klar ich versuche es mal so:) Vielen Dank

Answer 3

Da ich auch schon etwas  ausgearbeitet
hatte hier meine Berechnung

Answer 4

\(1- \frac{6(x+3)}{|4+2x|}>-1 \)
\(- \frac{3(x+3)}{|2+x|}>-2|\cdot(-1) \)
\(\frac{3(x+3)}{|2+x|}<2|^{2} \)
\(\frac{9(x+3)^2}{(2+x)^2}<4\)

\(\frac{(x+3)^2}{(2+x)^2}<\frac{4}{9}\)

\((\frac{x+3}{2+x})^2<\frac{4}{9}|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(\frac{x+3}{2+x}<\frac{2}{3}\)

\(x+3<\frac{2}{3}(2+x)\)
\(x+3<\frac{4}{3}+\frac{2}{3}x)\)

\( \frac{1}{3}x<-\frac{5}{3} \)
\( x_1<-5 \)

Probe mit \(x=-6\)

\(1- \frac{6\cdot(-6+3)}{|4-12|}>-1 \)✓

2.)

\(\frac{x+3}{2+x}<-\frac{2}{3}\)

\(x+3<-\frac{2}{3}\cdot(2+x)\)

\(x+3<-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}x)\)

\(x+3<-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}x\)

\(\frac{5}{3}x<-\frac{13}{3}\)

\(x_2<-\frac{13}{5}\)

Probe mit \(x=-3\):

\(1- \frac{6\cdot (-3+3)}{|4-10|}>-1 \)✓

\((-∞,-\frac{13}{5})\)

Proben sind notwendig, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

Ich lasse es so als Beispiel, wie es dumm laufen kann!

Comments

1.)\(\frac{x+3}{2+x}<\frac{2}{3}\)

\(x+3<\frac{2}{3}(2+x)\)

Diese Schlussfolgerung ist völlig unbegründet. Nur ein glücklicher Umstand verhindert, dass sie zu keinem Fehler führt.

2.)\(\frac{x+3}{2+x}<-\frac{2}{3}\)

Das Relationszeichen ist falsch.

\(\frac{x+3}{2+x}<-\frac{2}{3}\)

\(x+3<-\frac{2}{3}\cdot(2+x)\)

Diese Schlussfolgerung ist wieder unbegründet und diesmal richtig falsch.

Dein Riesenglück besteht darin, dass der zweifache Fehler das Teilresultat am Ende richtig macht.

Oma sagte immer:

Das Glück ist ein Rindvieh und sucht seinesgleichen.

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@abakus

Leider lerne ich durch deine Kommentare nur hinzu, dass vieles inkorrekt ist. Stelle bitte eine schlüssige Rechnung dieser Ungleichung puncto Quadrieren ein.

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Stelle bitte eine schlüssige Rechnung

Die gab es am 14 Nov 2017.

Korrigiere deinen unverlangten und unnützen Beitrag selbst oder lebe mit der aktuellen Peinlichkeit.

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Die gab es am 14 Nov 2017.

Aber nicht mit Quadrieren!

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Du wolltest es (ohne dass es jemanden interessiert) "besser" machen. Dann kannst du auch den gelieferten Pfusch selbst reparieren.
Immerhin weißt du (hoffentlich) jetzt, was alles falsch war.

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Du wolltest es (ohne dass es jemanden interessiert) "besser" machen.

Nein nicht besser sondern anders!

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Lieber gar nicht als falsch.

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Nein nicht besser sondern anders!

Und für "anders" macht man halt schlechter/sogar falsch.

Du kannst stolz sein.

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@abakus

ich bat dich, mir den richtigen Weg über das Quadrieren zu zeigen. Das hast du abgelehnt!

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Das hat doch mit dem Quadrieren nichts zu tun. Du multiplizierst eine Ungleichung mit einem Term ohne dir darüber Gedanken zu machen, ob dieser verwendete Term positiv oder negativ ist.