Question

 Für ein x ≥ 0 sei die Folge (bn)n∈N bei gegebenem b1 > √ x rekursiv definiert durch

bn+1 := 1/2( bn + x/ bn) für alle n ∈ N.

 Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt bn > √ x. 

Hey also ich habe die Aufgabe mit Annahme dass bn>√ x gemacht , da b1>√ x folgt b0>√ x und wenn man dies fortsetzt gilt auch bn>√ x ==> bn+1>√ x.

Kann jmd. mir sagen, ob der Lösungweg richtig ist bzw, ob ich dieses Annahme überhaupt benutzen darf?

MfG

Comments

$$\text{Tipp: }b_{n+1}^2-x=\frac14\left(b_n+\frac x{b_n}\right)^{\!2}-x=\frac14\left(b_n-\frac x{b_n}\right)^{\!2}.$$

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daraus habe ich jetzt bn+1>√ x bekommen , kann man dann schon feststellen, dass bn auch größer als √ x ist?

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die Folge (bn)n∈N konvergiert

Stichworte: folge,beweis,analysis,teilmenge,konvergenz

Für ein x ≥ 0 sei die Folge (bn)n∈N bei gegebenem b1 > √ x rekursiv definiert durch

bn+1 := 1/2( bn + x/ bn ) für alle n ∈ N

Zeigen Sie, dass die Folge (bn)n∈N konvergiert .

also ich habe schon bewiesen, dass bn monoton wachsend ist . Nun muss ich noch zeigen, dass diese Folge auch beschränkt ist. Mit Abschätzung komm ich nicht so klar bzw. wie man hier Induktion richtig verwendet. Kann jmd. mir Paar Tipps geben?

MfG

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Zeigen Sie, dass die Folge (bn)n∈N konvergiert . 

also ich habe schon bewiesen, dass bn monoton wachsend ist . Nun muss ich noch zeigen, dass diese Folge auch beschränkt ist. Mit Abschätzung komm ich nicht so klar bzw. wie man hier Induktion richtig verwendet. Kann jmd. mir Paar Tipps geben?

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 Nach meinen Berechnungen ist die Folge \(\{b_n\}_n\) monoton fallend.

Answer 1

Wenn man sich vorstellt, dass x in zwei Faktoren b_n und x/b_n zerlegt wird, dann ist das eine bekannte Rekursion für √x. Die Folgenglieder liegen alle oberhalb von √x.

Comments

Man kann auch so ansetzen: (b²+x)/(2b)>√x und nach etwas Umformung b²-2b√x+(√x)²>0 und (b-√x)²>0.

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wie hast du umgeformt dass (b²+x)/(2b)>√x rauskommt? 

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1/2(b+x/b)>√x auf den Nenner b bringen und mit 1/2 multiplizieren:  (b²+x)/(2b)>√x auf beiden Seiten mit 2b multiplizieren: b²+x>2b√x, Auf beiden Seiten 2b√x subtrahieren und x=(√x)² schreiben:.  b²-2b√x+(√x)²>0 binomische Formel anwenden (b-√x)²>0.