Extremstelle einer gebrochenrationalen Funktionenschar: f(x) = 1 / (x-1) - 1 / ( x-k)

Question

Suche die Extremstellen der Funktionsschar:

f(x) = 1 / (x-1) - 1 / ( x-k)

ich kann die irgendwie am ende nix kürzen und das wird so lang ....... brauche hilfe

Danke

Answer 1

Hi

f'(x) = -1/(x-1)^2+1/(x-k)^2

f'(x) = 0 = 1/(x-k)^2 - 1/(x-1)^2   |mit den Nenner multiplizieren

(x-1)^2-(x-k)^2 = 0                      |+(x-k)^2 und Wurzel ziehen

x-1 = ±(x-k)

 

Nur lösbar für k=1.

Oder x-1 = -x+k  -> 2x = k+1 -> x = (k+1)/2

 

k=1 gibt keine Extremstellen aus (f(x) ist schlicht f(x)=0)

Die Extremstellen sind bei x=(k+1)/2 zu finden.

 

Grüße

Answer 2

für k ≠ 1 nimmt diese Funktion ihre Extremstellen nicht an, da sie auf ihrem offenen Definitionsbereich ℝ \ {1, k} unbeschränkt ist.

MfG

Mister

PS: Das heißt, f hat keine eigentlichen Extremstellen.

Comments

Das würd ich so nicht sagen. Die Funktion hat bspw. für k = 2 ein lokales Minimum bei x=1,5.

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Das musst du erläutern, denn die Ableitung hat keine Nullstellen.

MfG

Mister

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f(x)  = 1/(x-1) - 1/(x-k); D = Q\{1,k};
f'(x) = -(x-1)^{-2} +(x-k)^{-2};
f'(x) = 0;
x^2-2x+1 = x^2-2kx+k^2;
x = (k^2-1) / (2k-2); k=2;
x = 1,5;

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Stimmt. Das heißt f hat eine Extremstelle bei (1 + k)/2.

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Ja.   ...........................

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Oookaaayyy...

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Sry, die Kommentare gar nicht gesehen.

Deckt sich aber mit meiner Rechnung :).

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Und wer lässt schon gern seine Fans im Stich.