Alle Lösungen einer DGL bestimmen: y' = 2√(|y|(1-y))

Question

folgende Aufgabe:

Man bestimmt alle Lösungen der Differentialgleichung \( y' = 2 \sqrt{|y|(1-y)}, \quad y \leq 1 \). In jedem Fall fertige man eine Skizze an und bestimmte die Menge aller Punkte \( (\xi, \eta) \) , für welche das Anfangswertproblem nicht lokal eindeutig lösbar ist.

Ich habe die DGl nun bis zu folgender Gestalt gelöst, komme aber hier nicht mehr weiter:

\( \frac{y}{1-y} = e^{2x}* C, \quad C \in ℝ \)

Kann jemand helfen ?

Answer 1

$$ \frac{y}{1-y} = e^{2x}* C\\y=(1-y)Ce^{2x}\\y=Ce^{2x}-yCe^{2x}\\y+yCe^{2x}=Ce^{2x}\\y(1+Ce^{2x})=Ce^{2x}\\y=\frac{Ce^{2x}}{1+Ce^{2x}} $$

Comments

Klar, danke!

Noch eine Frage: Versteh nicht, wie ich mit dem Betrag umgehen muss und wie mit der Bedingung y<=1

Den Betrag habe ich ja bei meiner Rechnung komplett ignoriert, muss ich dann eine Fallunterscheidung für y<=1 und y>1 machen ?

---

Ja, denn Betrag muss man beachten. Gibt aber eine Fallunterschiedung für y<=0 bzw. 1>y>0. Das läuft dann wahrscheinlich auf eine Bedingung für C hinaus. Für C >= 0

ist die DGL schonmal erfüllt und auch y<=1 gilt.

Für negative C passt es glaube ich nicht.

Für y>1 ist die DGL nicht definiert, weil dann der Term unter der Wurzel negativ wird.

---

Ich hab die Aufgabe eben gerechnet und habe da jetzt ein komplett anderes Ergebnis raus:

\( y= sgn (sin( \frac{x^2 + c}{2})^2) \)

Mit der Signumfunktion wäre der Betrag ja abgedeckt, nehme ich an.

C bleibt dann aus ℝ. Jetzt hab ich ja eine Sinusfunktion. Die ist ja beschränkt durch -1 und 1.

Unterscheide ich dann  y>1, 0  und für y<=1, x aus ℝ.

Oder ist da ein kompletter Denkfehler?

---

Hast du mal die Probe damit gemacht? Spontan denk ich mal nicht das diese Lösung stimmt, da die Funktion dank dem Signum unstetig ist.

Das mit dem e Termen war schon richtig.

---

ich bin zufällig an der selben Aufgabe, meine Lösungen sind (bin mir nicht sicher ob das so stimmt);

Für positive y, also:

$$ 1)|y|=y $$

$$ y=1/2 (sin(2(c_1+t))+1)$$

Für negative y, also:

$$ 2)|y|=-y $$

$$ y=1/4e^{-c_1-2t}(e^{c_1+2t}+1)^2$$

Jedoch bin ich mir nicht sicher, wie ich zeigen soll, für welche Menge aller Punkte das AWP nicht lokal eindeutig lösbar ist.

---

ich werd die Aufgabe gleich nochmal rechnen. Aller Guten Dinge sind 3 :) Und mal gucken, was jetzt rauskommen wird. Habs eben bei Wolfram eingegeben und da wurde mir das zweite Ergebnis angezeigt, was du für -y hast.

Das mit dem lokal eindeutig lösbar ist mir auch noch ein Rätsel. Da ich schon bei der DGL nicht weitergekommen bin, hab ich da auch nicht weiter gedacht. Ich glaube aber, dass man das mit Lipschitz machen kann.

---

Also ich habe bisher keine Fortschritte gemacht bezüglich der nicht lokal eindeutigen Lösbarkeit. Kann da vielleicht jemand helfen?

---

@physX : Deine Lösung sieht richtig aus.

Die Anfangsbedingung lautet

y(ξ)=η

Der Knackpunkt liegt ja bei y=0, da gibt es 2 mögliche Lösungen.

---

Hmm ok. Also y=0 löst ja die DGL, also ist sie nicht mehr eindeutig lösbar, wenn ich das richtig verstanden habe. Wie bestimmte ich dann die 2 möglichen Lösungen (ich denke einmal für y>0 und einmal für y<0)?

---

Meine Idee wäre für die 2 möglichen Lösungen:

$$ g(x)=\begin{cases}  y=\frac{1}{2} (sin(2(c_1+t))+1),     & t > 0          \\  0          & t \le 0 \\  \end{cases} $$

---

bin jetzt bei folgendem stehen geblieben:

du hast für y>= 0 zwei Lösungen und zwar einmal die für y=0 und einmal für 0<y<=1 (=deswegen nicht eindeutig lösbar) und dann hast du eine Lösung für y<0.

selber Gedanke bei Aufgabe 2.

---

Also eine Lösung wäre denke ich eben y=1/2 (sin(2(c_1+t))+1), dann y=0 und y=1/4e^{-c_1-2t}(e^{c_1+2t}+1)^2. 

---

Jap, genau.

die Lösung mit sin und die für y=0 gehören zusammen für den Bereich y>=0 bzw. denke ich eher für 0<=y<=1. das kannst du dann wie eben beschrieben in y=0 und 0<y<=1 aufteilen. deswegen ist die Lösung hier nicht eindeutig.

Für y>1 ist sie nicht definiert.

und für y<0 hast du die Lösung mit dem 1/4-irgendwas

Also, das sollte jetzt so stimmen, denke ich

---

Alles klar.

Bezüglich der Menge aller Punkte:

Ich würde da evt. sagen das es  für alle Punkte der Menge: {ξ, 0): ξ in R} 3 Lösungen gibt mit.. 

---

Bei der Schreibweise bin ich mir nicht ganz sicher. Ist das nicht wieder einfach der fall für y=0 ? Oder ich interpretiere das vielleicht falsch

---

Hmm stimmt vielleicht kann man sagen:  die Menge der Punkte {xi, n}={xi,0} ist nicht eindeutig lösbar. Bei y=0 kann man soweit ich weiß keine "Trennung der Variablen" etc. durchführen.

---

Hmm..ich überlege gerade. Müsste es nicht wie folgt sein:

Soweit ich das verstanden habe geht es um den Bereich y≥0 bzw. 0≤y≤1 und für diesen Bereich ist es nicht eindeutig lösbar. Das heißt dein AWP für y(ξ) = η,  ξ ∈ ℝ ist lokal nicht eindeutig lösbar für :

\( y_2(ξ) = \begin{cases} 0,\quad y=0\\ \frac{1}{2}(sin(2(c1+t))+1), \quad 0<y≤1 \end{cases} \)

Ich möchte dir auch nichts falsches erzählen, falls es bei dir um die Punkte geht :D

---

Ja ich brauche die leider noch für die Zulassung :D. Trotzdem danke!. Ich werde es mir mal anschauen. ^^

---

Ja gut, das ist etwas blöd, sollte aber zu machen sein :D

Ich denke aber, dass die Ergebnisse und die Folgerung richtig sein müssen. An der Art wie du es aufgeschrieben hast, sollte es nun wirklich nicht scheitern :)

---

Sorry, mir ist gerade aufgefallen, dass es für 0<=y<=1 sogar 3 Lösungen gibt :D

y=0, y=1 und die mit sin