Normale im Punkt W(2|0) - anders als die Lösung.

Question

Aufgabe
Der Graph von f(x) = x^{3} -6x^{2} +9x -2 hat ein Minimum M und ein Wendepunkt W. 

Lösung gem. Buch & Frage
b) y = 1/3x - 2/3 (so steht es im Buch, meine Lösung ist anders)
Ich habe unten meinen Rechenweg zu a und b aufgeführt. Wenn ich meine Ergebnisse plotte, scheint es richtig zu sein. Deswegen wollte ich euch fragen. 

a) Bestimme die Gleichung der Sehen MW

m = -2, M( 3 | -2 ) und W( 2 | 0 )
⇒ y_(MW) = -2x + 4 

b) Bestimme die Gleichung der Normale im Punkt W( 2 | 0 ) 

m_(MW) * m_(N) = -1
⇒ m_(N) = 1/2

Gleichung:

y = 1/2x + q         | x= 2 und y = 0 
0 = 1/2(2) + q
0 = 1 + q
⇒ q = -1

⇒ y_(N) = 1/2 -1






 

Answer 1

Hallo Limonade,

f(x) = x³ -6x² +9x -2

die Normale in W(2|0)  steht senkrecht auf der Tangente  in W  ( ≠  Sehne MW )  und hat deshalb die

Steigung   m_N =  -1 / f '(x_w)       

f '(x)  =  3·x² - 12·x + 9          →    f '(x_w)  =  -3    →   m_N  = 1/3

Normale:     y = 1/3 · ( x - 2)  = 1/3 · x - 2/3

Gruß Wolfgang

Comments

Jawohl, ich sollte richtig lesen und richtig verstehen lernen :-/ Vielen Dank dir !

Answer 2

Du hast die Aufgabe nicht zitiert.

Es macht einen Unterschied, ob die Normale der Sehne im Punkt \(x=2\) oder die Normale der Funktion im Punkt \(x=2\) gesucht ist. Deine Rechnung ergibt die Normale der Sehne.

Die Geradengleichung \(y=\frac13x - \frac23\) ist die Normale der Funktion.

Comments

Super ja ich hätte die Senkrechte im Punkt W(2|0) haben müssen. 
Ich muss die Aufgaben richtig lesen und verstehen lernen. :-/


Das heisst, richtig wäre:

f'(2) = -12 + 9 = -3

m_(W) = -3 
⇒ m_(N) = 1/3

W( 2 | 0 )

y_(N) = m_(W) * x + q

0 = 1/3*2 + q
0 = 2/3 + q
⇒ q = -2/3

y_(N) = 1/3x - 2/3

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Das ist richtig

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Ja - genau. Deine Rechnungen sind richtig. Auch die obige Rechnung in Deiner Frage ist richtig. Nur wenn dort steht

"Bestimme die Gleichung der Normalen im Punkt W"

dann ist unklar, ob sich 'Normale' auf die letztgenannte (auf die Sehne) oder die ursprüngliche Funktion bezieht. IMHO ist dies nach der deutschen Grammatik eher die Sehne!

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Vielen Dank euch beiden ! :)

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Für mich war es einfach unklar ob welches m ich nekhem soll ob von MW oder einfach nur von der Tangente im Punkt W weil folgendes geschrieben Steht:

b) Wie lautet die Gleichung der Normalen im Wendepunkt W. 

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... und wenn direkt über dieser Frage (b) die Sehne durch die beiden Extrempunkte erwähnt wurde, dann ist mit 'Normale' die Normale der Sehne gemeint - frage mal Deinen Deutschlehrer.

Dann ist die Lösung im Buch falsch (oder die Aufgabestellung) und Deine ursprüngliche Lösung ist richtig!