> [( n2 + (n+1)(n+1), n(n+1) + (n+1)n)]R
Das ist noch richtig. Ausmultiplizieren liefert aber
[(2n2 + 2n + 1, 2n2 + 2n)]R
Wie du siehst, hat der Repräsentant die Form (m+1, m) mit m = 2n2 + 2n.
Es stellt sich dann die Frage, ob (m+1, m) in der Äquivalenzklasse [(n+1, n)]R liegt. Das kann man prüfen indem man in die Definition der Äquivalenzklasse R einsetzt:
((m+1, m), (n+1,n)) ∈ R
⇔ (m+1) + n = m + (n+1).
Wegen Kommutativ- und Assoziativgesetz der natürlichen Zahlen (die habt ihr schon bewiesen oder?) ist diese Gleichung allgemeingültig. Also ist
(m+1, m) ∈ [(n+1, n)]R
und somit
[(m+1, m)]R = [(n+1, n)]R.
Es ist also auch
[(2n2 + 2n + 1, 2n2 + 2n)]R = [(n+1, n)]R.