die Eigenzerlegung einer Matrix sieht die folgt aus:
A= S^{-1}*D*S
Dazu brauchst du die Eigenwerte und und Eigenvektoren der Matrix.
Bsp A:
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
det(A-λE)=0
Dies ergibt hier
λ1=1
λ2=2
Die Eigenvektoren bestimmtes du nun mit deren Definition:
Av=λv
Dies ergibt jeweils ein Gleichungssystem, bei dem eine Gleichung wegfällt, sodass am Ende der Vektor v einen freien Parameter hat, man erhält den gesamten Eigenraum.
Dies ergibt für
λ1=1 --> v1=(-2t,t)^{T}
λ2=2 --> v2=(-t,t)^{T}
es reicht für später jeweils einen Eigenvektor rauszusuchen, setze daher t=1
v1=(-2,1)^{T}
v2=(-1,1)^T
So nun zu den Matrizen:
D ist eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen.
S bekommt man, indem man die Eigenvektoren v1 und v2 nebeneinander
in eine Matrix schreibt. Bleibt bloß noch S^{-1} ,also die Inverse auszurechnen.
Kurz:
D=((1,0),(0,2))
S=((-2,-1),(1,1))
S^{-1}=((-1,-1),(1,2))
Jetzt kannst du noch die Probe machen, ob das Produkt der drei Matrizen auch A ergibt.
Die anderen beiden Aufgaben funktionieren nach dem selben Prinzip. Bei B ist es mehr Rechnung ;).
