Die Lämpchen entsprechen Vektoren im Vektorraum V = (ℤ/2ℤ)7 über dem endlichen Körper ℤ/2ℤ.
( 1 für an und 0 für aus)
Die Knöpfe ebenso, allerdings hier ( 1 für Komonente i schaltet Lampe i ) und man hat dann ja
die Vektoren
vo = ( 1 , 1, 0 ,0 ,0 0, 1 )
v1 = ( 1, 1 , 1, 0 ,0 ,0 0 )
v2 = ( 0, 1, 1 , 1, 0 ,0 ,0 ) etc.
Und durch Addition dieser "Schaltervektoren" erhält man eine bestimmte
Menge von eingeschalteten Lampen, wenn anfangs alle aus waren, wenn man etwa
vo + v1 + v2 drückt, hat man
( 1 , 1, 0 ,0 ,0 0, 1 ) + ( 1, 1 , 1, 0 ,0 ,0 0 ) +( 0, 1, 1 , 1, 0 ,0 ,0 )
=( 0, 0, 1 , 0, 0 ,0 ,1 ) +( 0, 1, 1 , 1, 0 ,0 ,0 )
= ( 0, 1, 0 , 1, 0 ,0 ,1 ) Es leuchten also Lampe 1 und 3 und 6.
(Probiere am besten mal an der Simulation, ob ich da auch nichts übersehen habe.)
Also ist die Frage: Wie erzeuge ich durch Linearkombination von v0 bis v6 den
Vektor ( 1,1,1,1,1,1,1).
Das kannst du ja jetzt richtig mit einem Gleichungssystem über ℤ/2ℤ ausrechnen.
Ich bekomme (probier es mal aus) ao=a2=a3=a5=a6= 1 und die anderen 0.
Also 5 Knöpfe drücken.
Da nach meiner Rechnung die sieben Vektoren lin. unabh. sind, sind alle Lämpchenkonfigurationen
darstellbar und zwar in eindeutiger Weise.
