Volumen eines Rotationsparaboloiden?

Question

Hallo bitte um Hilfe bei folgender Aufgabe,

berechne das Volumen eines Rotationsparaboloiden mit der Höhe H und dem Radius R in Zylinderkoordinaten.

Mein Problem sind die Grenzen zu bestimmen.

Ich weiß, ich hab das Integral dphi dz und dr (multiplie. mit r, wegen der Korrektur) wobei dphi von (0,2pi) geht

jetzt ist die Frage...hab mir gedacht dz geht von (0,H) aber bin mir nicht sicher und bei dr weiß ich es leider nicht.

Bitte um Hilfe

Answer 1

Parabel durch den Punkt P(r | h)

f(x) = a·x^2

f(r) = h --> a·r^2 = h --> a = h/r^2

Umkehrfunktion

y = h/r^2·x^2 --> x = r·√(y/h)

Flächeninhaltsfunktion

pi·y^2 = pi·r^2/h·y

Volumen des Rotationsparaboloid

V = ∫(pi·r^2·y/h, y, 0, h) = pi/2·r^2·h