Dimension des Lösungsraums von Ax = 0?

Question

Hey bräuchte bei folgender Teilaufgabe Hilfe :

Berechnen sie in beiden Fällen den Lösungsraum.
a.) habe ich   den Nullvektor für x raus.

b.) habe ich
x₁ =  -(1/20)*x₃ ,
x₂ = (3/10) * x₃  und
x₃ = x₃


Nun weiß ich jedoch nicht wie ich die Dimensionen berechne.

Könnte bitte wer helfen ?


Tobias

Answer 1

> habe ich x₁ =  -(1/20)*x₃ , x₂ = (3/10) * x₃  und x₃ = x₃

Mit anderen Worten, jede Lösung hat die Form \(x_3\cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{20}\\\frac{3}{10}\\1\end{pmatrix}\), wobei \(x_3\) beliebig gewählt werden kann. Das Erzeugnis von \(\begin{pmatrix}-\frac{1}{20}\\\frac{3}{10}\\1 \end{pmatrix}\) ist also der Lösungsraum.

Comments

Danke für die Antwort könntest mir noch sagen was genau mit der Dimension gemeint ist und wie ich diese berechne?

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Hätte jetzt spontan 3 gesagt aber warte mal lieber auf jemanden der mehr Ahnung hat :D

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> was genau mit der Dimension gemeint

Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren, die in einem Erzeugendensystem mindestens vorhanden ein müssen.

In b) ist die Dimension des Lösungsraumes 1, weil ein Vektor ausreicht, um daraus alle Lösungen des Lösungsraumes zu erzeugen.

> a.) habe ich   den Nullvektor für x raus.

Laut Definition Erzeugnis, ist der Nullvektor das Erzeugnis der leeren Menge. Das Erzeugendensystem  der Lösungsmenge ist also die leere Menge. Die leere Menge hat 0 Elemente. Die Dimension des Lösungsraumes ist also 0.