Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums L0

Question

Hey! Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Aufgabe:

Gegeben sei folgendes homogenes lineares Gleichungssystem über R:
2x1 + x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0

− x2 + x3 − x4 = 0

x1 +2x2 +2x3 −2x4 − x5=0
(i) Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums L0.
(ii) Es bezeichne e1,...,e5 die Standardbasis des R5. Geben Sie i1,...,ik ∈ {1,...,5} an so, dass ⟨ei1,...,eik⟩ ein Komplement zu L0 in R5 bildet.

Bei (i) habe ich die Basis (0, 0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0, 1), bin mir aber nicht ganz sicher ob’s richtig ist

(ii) bereitet mir aber mehr Probleme als (i)

Answer 1

Bezogen auf die zugehörige lin. Abb. L hast du eine

Basis des Kerns. Die ist OK.

Dann wird das Komplement davon durch 3 Einheitsvektoren

auf gespannt, die jeweils von den 2 Basisvektoren lin. unabhängig

sind. Das sind z.B. e1,e2,e3.

Du kannst also k=3 und i1=1, i2=2, i3=3 wählen.

Answer 2

LGS haben die Eigenschaft, dass eine Löung einsetzt, eine wahre Ausage ergeben soll. Das tut es im Fall i. sollte also passen.

ii)

Jetzt musst du die gefundene Basis durch Einschieben von vektoren, sinnvoller weise aus der einheitsbasis, zum R5 ergänzen.

ggf. so, dass die determinante des gesamtkunstwerkes nicht verschwindet….