Ableitungen ln und sin in einer Funktion

Question

Ich habe eine Frage zum Thema Ableitungen. Ich habe die Funktion f(x)=ln(1+sinx)-0,5. Ich weiß die Ableitung von ln ist 1/x und von sin cos, jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich dies in der Ableitung verbinde

Answer 1

Hallo Tom,

f(x) = ln(1 + sinx) - 0,5  =  ln(u) - 0,5  

f '(x)  =_Kettenregel  1/u * u' 

f '(x) = 1 / (1 + sinx)  *  cos(x)  =  cos(x) / (1 + sinx)

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

vielen Dank für die schnelle Antwort. Logisch, die Kettenregel. Habe ich in diesem Kontext etwas aus den Augen verloren.

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Für die zweite Ableitung würde dann die Quotientenregel greifen, richtig?

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Das ist richtig.

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Demzufolge hätte ich dann -sinx - cosx²/(1+sinx), stimmt das?

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Ja,

 -sinx - cosx² / (1+sinx) =  - (sinx + cosx²) / (1+sinx) =  -1 / (1+sinx) 

ist richtig.

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Wie kann ich nun zum Beispiel eine der Ableitungen nach x umstellen, um so auf ein Extrema zu kommen? Was passiert mit dem Sin und Cos dabei?

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Zähler Null setzen:

cos x= 0

x= pi/2+k*pi, k∈ℤ

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Noch einmal ein Nachtrag. 

Wenn ich cos x Null stelle, ist x dann pi/2+k*pi? Was setze ich dann für k ein um die Nullstelle, bzw. das Extrema zu berechnen?

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cos(x) = 0

⇔  x = π/2 + k * π   mit  k∈ℤ  

[ k ∈ { 0, ± 1, ± 2, .... } ]   bedeutet, dass man immer eine Nullstelle erhält, wenn man eine beliebge ganze Zahl für k einsetzt. 

Die Nullstellen sind also alle ungeraden Vielfachen von π/2.