Vollständige Induktion. Zeige: (n/6 + n^2/2 + n^3/3) ist Element N_(0)

Question

Für alle \( n \in N_{0} \) liegt die rationale Zahl \( \left(\frac{n}{6}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{3}\right) \) in \( N_{0} \).

1. Beweise zum einen mit vollständiger Induktion.

2. Beweise zum anderen ohne vollständige Induktion (z.B generischer Beweis usw.).

Hilfestellung:

\( \left(\frac{\mathrm{n}}{6}+\frac{\mathrm{n}^{2}}{2}+\frac{\mathrm{n}^{3}}{3}\right)=\frac{\mathrm{n}+3 \cdot \mathrm{n}^{2}+2 \cdot \mathrm{n}^{3}}{6}=\frac{1}{6} \cdot \mathrm{n} \cdot(\mathrm{n}+1) \cdot(2 \cdot \mathrm{n}+1) \)

Comments

Es läuft wohl daraus hinaus zu zeigen, dass

n+3n^2+2n^3 durch 6 teilbar ist.

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verstehe nur nicht wie ich das beweisen soll...

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Ohne Induktion vielleicht so: \(\quad2n^3+3n^2+n\)$$=2\sum_{k=1}^n\left(n^3-(n-1)^3\right)+3\sum_{k=1}^n\left(n^2-(n-1)^2\right)+2\sum_{k=1}^n\big(n-(n-1)\big)\\=6\sum_{k=1}^nn^2.$$Es ist klar, dass \(\displaystyle\sum_{k=1}^nn^2\in\mathbb N\) ist, also ist auch \(\frac n6+\frac{n^2}2+\frac{n^3}3\in\mathbb N\).

Answer 1

Mit Induktion so:

Für n=1 OK

Sei n*(n+1)*(2n+1)

durch 6 teilbar, dann gilt

(n+1)*(n+2)*(2n+3)

= n*(n+1+1)*(2n+3) +(n+2)*(2n+3)

= n*(n+1)*(2n+1+2) +n*(2n+3) + (n+2)*(2n+3)

= n*(n+1)*(2n+1) +2n(n+1) +n*(2n+3) + (n+2)*(2n+3)

=n*(n+1)*(2n+1) +2n(n+1) +n*(2n+3) + (n+2)*(2n+3)

=n*(n+1)*(2n+1) +6n² + 12n + 6

Der erste Summand ist durch 6 teilbar wegen Ind.vor. und

die anderen enthalten alle den Faktor 6.

Answer 2

Soll natürlich heißen: \(\quad2n^3+3n^2+n\)$$=2\sum_{k=1}^n\left(k^3-(k-1)^3\right)+3\sum_{k=1}^n\left(k^2-(k-1)^2\right)+\sum_{k=1}^n\big(k-(k-1)\big)\\=6\sum_{k=1}^nk^2.$$Es ist klar, dass \(\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2\in\mathbb N\) ist, also ist auch \(\frac n6+\frac{n^2}2+\frac{n^3}3\in\mathbb N\).