Lineare abhängig Index

Question

Kann mir jemand sagen wie ich die folgenden beiden Aussagen zu beweisen habe ? Bin über jede hilfe dankbar :)

Comments

Linear abhängig heißt, es existieren \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb R\) mit \(\lambda_1v_1+\ldots+\lambda_nv_n=0\) und \(\lambda_k\ne0\) für mindestens ein \(k\in\lbrace1,\ldots,n\rbrace\). Löse nach \(v_k\) auf.

Answer 1

zu a) hast du ja die Lösung im Kommentar. Es ist dann

v_k = λ₁/λ_k * v₁ +...+  λ_k-1/λ_k * v_k-1 +  λ_k+1/λ_k * v_k+1 +...+  λ_n/λ_k * v_n

denn durch λ_k kann man dividieren, da es nicht 0 ist.

b)  Betrachte (1;0;0;) , (2;0;0)  und  (0;1;0)

Comments

vk ist dann eine linearkombination und somit in lin(v1...vk-1,vk+1...vn) drin ? Ist das dann damit bewiesen?

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Und warum ist v3 nicht in lin (v1,v2) drin ?

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Zu deiner ersten Frage:  Ja, wenn es eine Linearkomb. ist,

dann ist es in  lin(v1...vk-1,vk+1...vn); denn das sind ja genau die

Linearkombinationen dieser Vektoren.

Zu 2:    In  lin (v1,v2) sind alle Linearkombinationen von v1 und v2 und

die haben alle in der 2. Komponente eine 0, also ist v3 nicht dabei.