v1 und v2 linear ahängig, wenn w1 und w2 unterräume sind

Question

Seien W1, W2 Unterrräue eines K Vektorraumes V.

Seien v1 ∈ W1 \ {0} und v2 ∈ W2 \ {0}. Wir nehmen an, dass W1∩W2 = {0}. Zeigen Sie, dass v1 und v2 linear unabhängig sind.

Wie zeige ich hier, dass v1 und v2 linear unabhängig sind?

Macht man das mit Hilfe der Basis oder wie geht man da vor?

Answer 1

Am besten indirekt:

Wenn 2 Vektoren v1 und v2 ungleich 0 linear abhängig sind, dann gibt es

ein x ∈ K* mit   x*v1 = v2 .

Ist v1 ∈ W1 dann ist auch x*v1 ∈ W1 und damit v2 ∈ W1.  Andererseits aber v2  ∈ W2.

Im Widerspruch zu W1∩W2 = {0}.