Angegebenen Grenzwert auf Existenz untersuchen

Question

ich habe Probleme bei der Aufgabe und hoffe auf Hilfe.

Answer 1

$$\lim\limits_{x\to 0}(1-2x)^{\frac{1}{x}}\\ =\lim\limits_{x\to 0}e^{ln\Bigl[(1-2x)^{\frac{1}{2}}\Bigr]}\\ =\lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}ln(1-2x)}\\ e^{\lim\limits_{x\to 0}[\frac{1}{x}\cdot ln(1+2x)]}\\ ⇒\lim\limits_{x\to 0}(\frac{1}{x}\cdot ln(1+2x))\\ =\lim\limits_{x\to 0}\Bigl(\frac{ln(+2x)}{x}\Bigr)⇒\frac{0}{0}\\ \text{l'Hospital}\\ =\lim\limits_{x\to 0}\Bigl(\frac{\frac{2}{2x+1}}{1}\Bigr)=2\\ ⇒ e^2$$

                                      

Comments

Wir dürfen leider noch nicht Hospital verwenden 

Gibt es eine andere Lösung dafür ?

Haben Sie Vorschläge oder Lösungen zu den anderen Aufgaben ?

Answer 2

zu iv)

Setze 1/x=n , damit ergibt sich

lim n---> ∞ (1+2/n)^n = e^2 gemäß Definition der Exponentialfunktion.

Comments

Zu ii) setze LN(x)=y , x=e^y

Man erhält damit

 lim y---> -∞ e^{αy}*y

Wir lautet der dazugehörige Grenzwert nun wohl?