Stetigkeit für alle Punkte zeigen

Question

zu zeigen ist, dass es für jede reelle Zahl $$ x \in \mathbb{R} $$ eine größte ganze Zahl $$ z $$ gibt mit $$ z \leq x $$ und, dass diese Zahl eindeutig bestimmt ist. $$ [x]:=z $$

Zudem sollen alle Punkte bestimmt werden, in denen die Funktion $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z},x \to[x] $$ stetig ist.

Den ersten Teil habe ich mit Widerspruch versucht, aber komme da nicht zum Ergebnis. Und wie findet man alle Punkte, in denen die Funktion stetig ist?

Gruß

Comments

Nach der Definition, die du hier angibst, rundet f immer auf die nächstkleinere ganze Zahl ab, wenn x nicht schon selbst eine ganze Zahl ist.

Und wie findet man alle Punkte, in denen die Funktion stetig ist?

Mach mal eine Skizze. Das sieht aus wie eine Treppe. Die horizontalen Teile sind stetig, die Treppenabsätze nicht. f ist in allen reellen Stellen, die keine ganzen Zahlen sind, stetig. An den ganzzahligen Stellen ist f nicht stetig. 

Mach bitte mal einen neuen Vorschlag für eine aussagekräftigere Überschrift. 

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Neuer Vorschlag: Existenz größter ganzer Zahl/Abrundungsfunktion(Stetigkeit)Könnte man den Widerspruch mit der Annahme, dass es ein $$ z \in \mathbb{Z} $$ gäbe, sodass für alle $$ x \in \mathbb{R} $$ gälte $$ x<z $$ angehen?Wie zeigt man die Stetigkeit an den Stellen am besten? Mit den Kriterien erhalte ich kein geeignetes Ergebnis, zumal keine explizite Funktion angegeben ist.

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Weiß jemand, ob die Existenz von $$ [x] $$ so gezeigt werden kann?