Kurvenschar Koordinaten Extrema

Question

Ich bekomme die nachstehende Aufgabe einfach nicht hin:

Gegeben ist die Kurvenschar f_k(x) = (x² - k) e^-x  k ∈ R

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrema in Abhängkeit von k.

Mein Ergebnis ist ewig lland und ich kann damit nicht weiter rechnen. Ich weiß nicht, wo der Fehler liegt.

Answer 1

f'(x) = 2x*e^{-x}+(x^2-k)*e^{-x}*(-1) = e^{-x}*(2x-x^2+k)

f'(x) = 0

-x^2+2x+k=0
x^2-2x-k=0

pq-Formel:

x1/2 = 1+-√(1+k)

Ergebnisse in f(x) einsetzen.

Comments

Vielen Dank schon mal für die Antwort.

Aber wie finde ich jetzt heraus, ob es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist? An sich muss ich es doch nur in f''(x) einsetzen, aber mit dem Ergebnis komme ich nicht weiter...Mein Ergebnis:
fk'' (1 + √ 1+k) = (4 (1+ √ 1+k) - 2 - (1 + √ 1+k)² + k) e ^-(1√1+k)
Danke schon mal im Voraus

Answer 2

Gegeben ist die Kurvenschar f_k(x) = (x² - k) e^-x  k ∈ R

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrema in
Abhängkeit von k.

f ´( x ) = 2x  * e^{-x } + ( x^2 - k ) * e^{-x}*(-1)
f ´( x ) = e^{-x} * ( 2x - ( x^2 - k ) )
f ´( x ) = e^{-x} * ( 2x - ( x^2 + k ) )
f ´( x ) = - e^{-x} * ( x^2 - 2x - k )
Extrempunkte
- e^{-x} * ( x^2 - 2x - k  ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
- e^{-x} ist stets <> 0
Bleibt übrig
x^2 - 2x - k = 0
x^2 - 2x + 1^2  = 1 + k
( x -1 )^2 = 1 + k
x - 1 = ± √ ( 1 + k )
x =  1 ± √ ( 1 + k )

1 + k ≥ 0
k ≥ -1

k = -1
x =  1 ± √ ( 1 + (-1) )
x = 1

k > -1
x =  1 + √ ( 1 + k )
und
x =  1 - √ ( 1 + k )

Comments

Du hast (absichtlich?)vergessen, die Punkte einzusetzen. Viel Spaß dabei.  :))

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Vielen Dank für die schnelle Antwort :)

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k = -1
x = 1
( 1 | 1/e^2 )

Die anderen Koordinaten dürften sein
k > -1
xe1
f(xe1)
xe2
f ( xe2)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrema in Abhängkeit von k.
Eine Aussage über Hoch- oder Tiefpunkt ist
nicht gefordert.

Answer 3

Am besten als Quotient schreiben und nach der Quotientenregel ableiten: f_k(x) = (x² - k)/ e^x. f '(x)= (-x²+2x+k)/e^x