Vektorraum - Algebra. Bsp. Welche Dimension hat die Summe U1+U2?

Question

Allgemeine <Es sei V, V ein K-Vektorraum der Dimension 18.>

Es seien U1 und U2 Unterräume von V
V mit dim(U1)=15, dim(U2)=3
dim⁡(U2)=3 und dim(U1∩U2)=3



Welche Dimension hat die Summe
U1+U2 ? 


Es sei U
U ein Unterraum von V der Dimension 4.
Für den weiteren Unterraum W gelte V=U⊕W
V=U⊕W.

Welche Dimension hat W?

Es seien W1 und W2
W2 Unterräume von V
dim⁡(W1)=12 und dim(W2)=13

Was ist die kleinstmögliche Dimension für den Durchschnitt W1∩W2 ? 

Der Durchschnitt zweier verschiedener Unterräume von
V der Dimension 15 hat mindestens die Dimension (..?..) 
.

Answer 1

Dimensionsformel:

dim(U1+U2) + dim(U1∩U2)=    dim(U1) + dim(U2)

==> dim(U1+U2) + 3 =    15 + 3

==>   dim(U1+U2)  =    15 

oder auch so: wegen     dim(U2)= dim(U1∩U2)

folgt U1∩U2 = U2 also  U1⊆U2

und damit U1+U2 = U2.