Bis wohin sollte man kürzen? (Hospital)

Question

(x^3 - 2x^2 +x)/(x-1)^3

Soll man die bis auf  (6x-4)/(6(x-1)) -> 2/0 -> +- unendlich oder sogar bis 6/6 -> 1

Answer 1

Welche Untersuchung des Bruches (x³ - 2x² +x)/(x-1)³ willst du anstellen? Für die meisten Untersuchungen genügt es, die gekürzte Darstellung x/(x - 1) zu verwenden.

Answer 2

f(x)=(x^3-2x^2+x)/(x-1)^3

=x(x^2-2x+1)/(x-1)^3

=x*(x-1)^2/(x-1)^3

=x/(x-1)=(x-1+1)/(x-1)=1+1/(x-1) für x ≠1

Der Limes x gegen 1 f(x) existiert also nicht, da hast du eine Polstelle

Answer 3

$$f(x)\quad :=\quad \frac { x³\quad -\quad 2x²\quad +\quad x }{ (x\quad -\quad 1)³ } \quad =\quad \frac { x\quad (x\quad -\quad 1)² }{ (x\quad -\quad 1)³ } \quad =\quad \frac { x }{ x\quad -\quad 1 } \quad \\ $$

$$\\ \underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ lim } \quad f(x) \quad =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad f(1\quad +\quad h)\quad =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad \frac { (1\quad +\quad h) }{ (1\quad +\quad h)\quad -\quad 1 } \quad =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad \frac { 1 }{ h } \quad +\quad 1\\ =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad \frac { 1 }{ h } \quad +\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad 1\quad =\quad +\infty \quad \\ \quad \\$$

$$\\ \underset { x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ lim } \quad f(x)\quad =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad f(1\quad -\quad h)\quad =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad \frac { (1\quad -\quad h) }{ (1\quad -\quad h)\quad -\quad 1 } \quad =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad -\frac { 1 }{ h } \quad +\quad 1\\ \\ =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad -\frac { 1 }{ h } \quad +\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \quad 1\quad =\quad -\infty \quad \\ $$

$$\\ Es\quad gibt\quad keinen\quad eigentlichen\quad oder\quad uneigentlichen \quad Grenzwert\quad der\quad Funktion \quad f\quad für \quad x \quad gegen \quad 1\\ \\ $$

Comments

l'hospital würde ich nicht anwenden da der Grenzwert von f für x gegen 1 nicht existiert, es liegt unbestimmte Divergenz vor

Und da die Umkehrung allgemein nicht gilt, also existiert der lim(x→x₀) f' (x) nicht, bedeutet dass nicht dass der lim(x→x₀) f(x) nicht existiert.

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* ich meinte lim(x→x₀) g'(x) / h'(x) bzw. lim(x→x0) g(x) / h(x).

Answer 4

Zunächst einmal:Wir betrachten sicherlich den Limes für x gegen 1, sonst haben wir ja nur einen Bruch da stehen. Hospital können wir anwenden, wenn Zähler und Nenner gegen 0 oder beide gegen +/- unendlich laufen. Du möchtest jetzt Hospital so lange anwenden, bis wir die oben genannten Fälle nicht mehr vorliegen haben. Beachte außerdem :(x-1)^3 ist eine verkettete Funktion. Da kannst du nicht einfach nur "normal" ableiten. Kettenregel!

Answer 5

f(x) = (x^3 - 2·x^2 + x) / (x - 1)^3

f(x) = x·(x - 1)^2 / (x - 1)^3

Kürzen von Zähler und Nenner mit (x - 1)^2

f(x) = x / (x - 1) = 1 + 1/(x - 1)

Hier sieht man ohne L'Hospital, dass die Funktion an der Stelle x = 1 eine Polstelle hat

Nun mit L'Hospital

lim (x --> 1) (x^3 - 2·x^2 + x) / (x - 1)^3

Da ich für x = 1 den Grenzwert 0/0 habe wende ich L'Hospital an

lim (x --> 1) (3x^2 - 4·x + 1) / (3*(x - 1)^2)

Da ich für x = 1 den Grenzwert 0/0 habe wende ich L'Hospital an

lim (x --> 1) (6x - 4) / (6*(x - 1))

Nun hat man einen Ausdruck 2/0 und sieht, dass an der Stelle x = 1 eine Polstelle ist.

Answer 6

lim x −> 1  [ (x^3 - 2x^2 +x)/(x-1)^3]  = 0 / 0
L´Hospital

lim x −> 1  [( 3*x^2 - 4 * x + 1) / ( 3 * ( x -1 )^2 ] = 0 / 0

lim x −> 1  [( 6*x - 4 ) / ( 6 * ( x -1 ) ] = 2 / 0

lim x −> 1  [ 6  / 6  ] = 1

Bis wohin sollte man kürzen.
Üblicherweise bis man einen
( Grenz- ) Wert hat.
Das ist Sinn und Zweck der Aktion.

Unten einen Kommentar hinzufügen funktioniert
nicht mehr deshalb schreibe ich hier etwas hin :
Korrektur
ab 2 / 0 darf L´Hospital nicht mehr angewendet
werden. x = 1 ist eine Polstelle.

Comments

Ist l'Hospital auch bei 2 / 0 anwendbar?

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lim x −> 1  [ 6  / 6  ] = 1

Bis hier her kommt man gar nicht, da bereits vorher die Voraussetzung der Regel von de L'Hospital nicht mehr erfüllt werden. Das ist auch nicht verwunderlich, denn der Term besitzt für x gegen 1 gar keinen Grenzwert.