> was genau ist das Skalarprodukt
Das Skalarodukt ist eine Möglichkeit, zwei Vektoren so zu verknüpfen, dass ein Skalar entsteht.
Rechenregeln:
- Distributivgesetze
(a+b)·c = a·c + b·c und a·(b+c) = a·b + a·c für alle Vektoren a, b und c.
- Linearität
(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb) für alle Vektoren a und b und alle Skalare λ. - Kommutativgesetz
a·b = b·a für alle Vektoren a und b.
- Positive Definitheit
a·a ≥ 0 für alle Vektoren a.
a·a = 0 genau dann wenn a = 0.
Beispiel. Setzt man
(x1, x2, x3)·(y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + x3y3
dann sind alle obigen Regeln erfüllt. Das so erhaltene Skalarprodukt wird Standardskalarprodukt genannt. Wenn von dem Skalarprodukt die Rede ist (im Gegensatz zu einem Skalarprodukt), dann ist normalerweilse das Standardskalarprodukt gemeint.
Geometrische Bedeutung: haben die multiplizierten Vektoren die Länge 1 (das kann mit einer entsprechenden Skalierung erreicht werden), dann ist das Skalarprodukt der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren. Insbesondee ist das Skalarprodukt genau dann Null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen (wegen cos(90°) = 0).
Notation: Das Skalarprodukt wird oft mit einem einfachen Malpunkt angegeben: "a·b". Aber auch andere Schreibweisen sind geläufig, insbesondere ⟨a;b⟩.
> Oft sieht es so geschrieben aus |Vektor|
Das ist der Betrag des Vektors. Der ist üblicherweise mittels √(Vektor·Vektor) definiert. Anschaulich ist das die Länge des Vektorpfeils.
