Wie finde ich von einer Funktion mit x^4 die Nullstellen heraus?

Question

Das ist die Aufgabe:

f(x)= x^4+243x-9

Danke im Voraus!

Comments

Sicher, dass die Funktionsgleichung stimmt? 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4%2B243x-9%3D0 

Kann es sein, dass du solche Resultate rausbekommen sollst?

Welche Methoden stehen dir denn zur Verfügung? 

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Das ist ein, von mir ausgedachtes Beispiel!

Sollte aber welche haben oder?

wie kommt man den auf das Ergebnis von WolframAlpha?

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Welche Methoden stehen dir denn zur Verfügung? 

Du könntest z.B. einen Plotter bemühen und dann möglichst genau an die Nullstellen zoomen:

z.B. so: 

~plot~ x^4+243x-9;[[-10|10|-1000|100]] ~plot~ 

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Hi,
Habe mir die Frage gerade einfach mal so gestellt.
Ist der Rechenweg zu schwierig oder unmöglich?

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wie kommt man denn auf das Ergebnis von WolframAlpha? 

Man kann ein Näherungsverfahren, wie z.B. die Bisektion oder das Newtonverfahren anwenden. Bisektion kannst du vermutlich schon verstehen und ausführen. Für das Newtonverfahren braucht man Ableitungen.

Bisektion ist nicht viel schneller als zoomen, das wird mit der Zeit immer genauer: 

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Das Newtonverfahren wäre auch eine Alternative ;): https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

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Haha,

Wahrscheinlich kann ich das nicht. Hatte vor kurzem die PQ-Formel in der Schule... und da hat man ja immer Funktionen wie:

f(x)= x^2+34x-12

Dachte mir dann was passiert eigentlich wenn es x^4, x^5 etc. wäre...

Kann man Funktionen, wie die in meiner Fragestellung vielleicht auf x^2 umformen oder so?

oder kann man die 4 Wurzel ziehen, um die Funktion zu "normalisieren"

LG

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Da gibt es auch wege und Methoden. Stichwörter sind biquadratische substitution und polynom Division oder Horner Schema. Aber das lernst du noch früh genug. Da würde ich mich an deiner Stelle jetzt noch nicht mit verrückt machen.

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Haha,
Wahrscheinlich kann ich das nicht. Hatte vor kurzem die PQ-Formel in der Schule...

Es gibt andere Methoden, die du ohne Kenntnis der Differentialrechnung anwenden kannst.

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/sekantennaeherungsverfahren-regula-falsi

Answer 1

Wichtigste Randbedingung: "Das ist ein, von mir ausgedachtes Beispiel!"

Genau solche Aufgaben würden Lehrer nie stellen, da die universelle PQRSTUVW-Lösungsformel kein Lehrstoff ist!

Natürlich kann man die beiden reellen Nullstellen auch mit Näherungsverfahren wie Bisektion oder Newton-Verfahren (Wikipedia) lösen. Lehrer stellen nur Fragen, wo man Spezialfälle (raten glatter Nullstellen; einfache Substitution, Ausklammern)

anwenden kann.

WolframAlpha . com & http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

kennen jedoch die exakte explizite Funktion, die auch mit komplexen Faktoren (also statt 243 ein 3.14-5.678 i ) funktioniert.

Für x1 lautet die Formel ausgeschrieben:

x = -1/2 sqrt((3/2 (19683 + sqrt(387421257)))^{1/3} - 4 3^{2/3} (2/(19683 + sqrt(387421257)))^{1/3}) - 1/2 sqrt(4 3^{2/3} (2/(19683 + sqrt(387421257)))^{1/3} - (3/2 (19683 + sqrt(387421257)))^{1/3} + 486/sqrt((3/2 (19683 + sqrt(387421257)))^{1/3} - 4 3^{2/3} (2/(19683 + sqrt(387421257)))^{1/3}))

{sqrt = Wurzel; x^{1/3} = 3. Wurzel von x }

Im LINK ist unter Quartische Gleichung bei §D die Quartic_Formula in Langform zu finden.

Taschenrechner verwenden auch gern die Bisektion, bei der man jedoch einen Suchbereich vorgeben muss. Der Iterationsrechner rechnet das online vor:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@Px,4)+243*x-9@Na=-7;b=-5;c=(a+b)/2;@Nd=(Fx(c)*Fx(a)%3C0);a=d?a:c;b=d?c:b;@Bi]=c=(c+(d?a:b))/2;@N@AFx(c))%3C%204e-15@N0@N0@N#

Comments

Für welche Gleichungen kann die PQRSTUVW Formel angewendet werden? Wurde von Abel nicht gezeigt, dass für Gleichungen mit Grad ≥5 keine geschlossene Lösungsformel existieren kann? Ist diese Formel also nur ein Näherungsverfahren?

Da es sich hier nur um eine Gleichung vom Grad 4 könnte man doch auch die von Cardano gestohlene Ferrari-Formel verwenden?

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Nicht alles durcheinander würfeln: bis Grad 4 gibt es exakte explizite Lösungsformeln:

Grad 2: pq-Formel

Grad 3: PQRST

Grad 4: PQRSTUVW

Würdest Du auf der Seite gewesen sein, würdest Du sehen, dass zuerst die Cardanischen Formeln & danach die neuen PQRSTUVW Formeln vorgerechnet werden.

Die Cardanischen Formeln haben noch 3 Fallunterscheidungen, die man aber zu 1 komplexen Formel zusammenfassen kann, da 

cos(acos(x)/3-Pi/3) =

1/2 i exp(-1/3 i (π/2 + i log(sqrt(1 - x^2) + i x)) - (i π)/6) - 1/2 i exp(1/3 i (π/2 + i log(sqrt(1 - x^2) + i x)) + (i π)/6)

Bis auf sehr wenige Spezialfälle, wo durch die Division eine Polstelle entsteht ( die sich aber dann per Substitution leicht anders lösen lassen), gibt es also immer zum Grad n -> auch n Lösungen. Ob sie nun reell, oder komplex oder Mehrfach {übereinanderleigend z.B. bei (x-2)² } sind, kann bei Bedarf untersucht werden.

Grad 5 kann zwar mit der https://de.wikipedia.org/wiki/Thetafunktion

gelöst werden -> die gilt für die meisten nicht als explizit (unendliche Reihe statt Wurzeln oder Trigonometr. Funk.). Hier gibt es nur Spezialfalllösungen und keine universelle Explizite...

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Ich war auf der Seite, aber habe deine Antwort scheinbar missverstanden. Ich dachte der Rechner würde alle Gleichungen sechsten Grades mit der angesprochenen pqrstuvw Formel lösen.

Answer 2

Das ist ein, von mir ausgedachtes Beispiel!
Sollte aber welche haben oder?
wie kommt man den auf das Ergebnis
von WolframAlpha?

 f ( x ) = x^4+243 * x - 9

Für dein Beispiel würde ich zuerst einen
Plotter einsetzen und dann das Newton-
Verfahren anwenden. Damit kann eine
Lösung " zu Fuß " berechnet werden.

Es gibt andere Funktionen 4.Grades die
einfacher gelöst werden können :

f ( x ) = x^4 + 243 * x ^2 - 9

Comments

f ( x ) = x4 + 243 * x ^2 - 9

wie geht das dem z.B?

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Mit Hilfe von Trick 17 auch Substituion / Ersetzung
genannt
f ( x ) = x ^4 + 243 * x ^2 - 9

z = x^2
und
z^2 ist dann x^4

f ( x ) = z ^2 + 243 * z - 9
Nullstelle

z ^2 + 243 * z - 9 = 0

pq-Formel oder quadratische Ergänzung
anwenden

z = - 243.0370314
und
z = 0.03703139373

Rückersetzen
z = x^2
x^2 = - 243.0370314
( geht nicht, jede Zahl ins Quadrat erhoben
ist null oder größer null.

z = 0.03703139373
x^2 = 0.03703139373  

x = 0.1924354274
und
x = -0.1924354274