Matheartikel: Das Newtonverfahren - Frage

Question

Ich beschäftige mich aktuell mit dem Matheartikel verfasst von Unknown auf Mathelounge.de

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Mir sind allerdings einige Fragen aufgekommen.

Ich habe mir jetzt ein eigenes Beispiel gemacht, um die Erklärung zu repkapitulieren.

f(x)= x^3+24x^2+643

Guckt man sich diese in eimem Plotter an, sieht man, dass die Nullstelle in der Nähe von -25 liegt.

Hier ein kleiner Auszug:

Wie kommt Unknown auf die Nebenrechnung?

Und wie bestimmt er die Ableitung?

Liebe Grüße,

Anton

Answer 1

> Wie kommt Unknown auf die Nebenrechnung?

Die Formel lautet x_i+1 = x_i - f(x_i)/f'(x_i).

Um damit x_i+1 zu berechnen braucht man einen Wet für x_i einen für f(x_i) und einen für f'(x_i). Für x_i hat Unknown zunächst anhand des Graphen -3 gewählt.

So kommt man darauf, dass man das was Unknown in der Nebenrechnung gerechnet hat, rechnen muss.

> Und wie bestimmt er die Ableitung?

Mit Hilfe von

        Potenzregel f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = n·x^n-1,

        Faktorregel f(x) = c·g(x) ⇒ f'(x) = c·g'(x) und

        Summenregel f(x) = g(x)+h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) + h'(x).

Comments

Danke erstmal,

Also mein Beispiel ist jetzt:

f(x)= x^3+24x^2+643

Die Nullstelle liegt nahe der -25.

wie würde hier die Nebenrechnung lauten?

vielleicht:

(-25)^3+25*(-3)^2+?

25*(-25)^2+?*(-25)

Wie komme ich auf diese Werte? Im Beispiel 2 und 9

LG

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> Die Nullstelle liegt nahe der -25.

Ersetze in der Funktionsgleichung

        f(x)= x³+24x²+643

jedes x durch (-25). Gleiches in der Ableitung.

> Wie komme ich auf diese Werte? Im Beispiel 2 und 9

    (-3)³ + 3·(-3)² + 2

= (-3)·(-3)·(-3) + 3·(-3)·(-3) + 2 laut Definition "Potenz"

= 9·(-3) + 3·(-3)(-3) + 2 laut Multiplikation ganzer Zahlen

= -27 + 3·(-3)·(-3) + 2 laut Multiplikation ganzer Zahlen

= -27 + (-9)·(-3) + 2 laut Multiplikation ganzer Zahlen

= -27 + 27 + 2 laut Multiplikation ganzer Zahlen

= 0 + 2 laut Addition ganzer Zahlen

= 2 wegen Neutralität der 0 bei Addition.

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Ich glaube, dass ich wieder etw. versuche zu verstehen, was ich nicht verstehen kann....

Also sind die Werte immer 2 und 9?

sehe da kein Muster

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Durch seinen ersten Schritt kommt er ja auch nicht auf irgendeins von den Ergebnissen:

-3-(-3)/(-3)= -4

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Okay, habe die 2 im Beispiel verstanden...

wie kommt man aber auf die 9?

Und wieso nimmt man die 6 mit in die Rechnung?

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Also sind die Werte immer 2 und 9?
Sicherlich nicht. Die Werte hängen von der Funktion, deren Ableitung und von x ab.

Unsere Funktion ist \(f(x) = x^3 + 24x^2 + 643 \)
Ihre Ableitung ist \(f'(x) = 3x^2 + 48x \)

Aus der allgemeinen Formel \(x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \) bekommen wir die für unseren Fall spezielle Formel \(x_{i+1} = x_i - \frac{x_{i+1}^3 + 24x_{i+1}^2 + 643}{3x_{i+1}^2 + 48x_{i+1}} \)

Nun müssen wir den Startwert \( x_0 = -25 \) einsetzen und bekommen ein \(x_1 \) raus, dann setzen wir \(x_1 \) ein und bekommen ein \(x_2 \) usw. bis die gewünschte Genauigkeit der Nullstelle erreicht ist.

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Hi gorgar,

Dann sollte man doch:

f(-25)=(-25)^3+3*(-25)^2+643= -13107

f'(-25)= 25*(-25)^2+48*(-25)= 14425

x1= -25-(-13107)/14425= -24.09

24.09 geht aber in die falsche Richtung...

LG

PS:

In Unknowns Artikel rechnet er:

-3.222222-(-3.22222/3.22222)= 3.19....

bei mir kommt da 4.2 raus?

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Wie kommst du auf die 3 vor dem x^2 ?

f(-25) = (-25)^3 + 24*(-25)^2 + 643 = 18
f'(-25) = 3(-25)^2 + 48*(-25) = 675
-25 - 18/ 675 = -25,0266666666666666

P.S.

In Unknowns Artikel rechnet er: -3.222222-(-3.22222/3.22222)= 3.19....
Nein, er rechnet -3.222222-(f(-3.22222)/f'(-3.22222))

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Ich bin schon bescheuert.... War wohl zu sehr vom Beispiel von Unknown abgelenkt

Ich rechne jetzt mal wieder eine frei erfunde Aufgabe aus.

Beispiel:

f(x)=x^3+32x^2+99 

abgeleitet: f(x)= 3x^2+64x

ungefährer Schnittpunkt = -32

f(-32)= (-32)^3+32*(-32)^2+99= 99

f'(-32)= 32*(-32)^2+64*(-32)=30720

x1= -32-(99/30720) =32.00322266

x2= -32.00322266-(-32.00322266/-32.00322266) = -33.0003

Ab hier begint ein Fehler, weiß aber nicht welcher... 

PS:

Wie gebe ich f? in den Taschenrechner ein? Kann damit nix anfangen...

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Ab hier begint ein Fehler, weiß aber nicht welcher...

Etwas früher: f'(-32) = 3*(-32)^2 + 64*(-32) = 1024

Wie gebe ich f? in den Taschenrechner ein?

Du meinst den Funktionsterm? Das kommt auf deinen Taschenrechner an, dessen Hersteller und Modell ich nicht kenne. Manche Taschenrechner können das gar nicht.

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ich habe den

Casio FX-99

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f(x)= 3x^2+64x

f'(-32)= 3*(-32)2+64*(-32)=1024

Haben die rot-markierten Zahlen etw. gemeinsam?

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Über Casio FX-99 kann ich nichts finden.

Meinst du eventuell fx-991DE PLUS ? Ich glaube, der müsste Terme mit Variablen speichern können.

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Geht es sonst nicht? Oder ist es sonst einfach umständlicher es einzugeben?

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Genau den hier habe ich

PS...

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Geht es sonst nicht?
Ich weiß nicht, guck doch in die Bedienungsanleitung.

Oder ist es sonst einfach umständlicher es einzugeben?
Das kann ich dir auch nicht beantworten, weil ich solche Taschenrechner nicht benutze.
Am PC arbeite ich gern mit SpeedCrunch.

Haben die rot-markierten Zahlen etw. gemeinsam?
Da fehlt doch noch der Funktionsterm und die Ableitung`?

Ich muss für heute leider Schluss machen. Mit dem Umgang und der Anwendung des Newton-Verfahrens bist du ja auf dem richtigen Weg. Viel Erfolg und bis demnächst! :-)

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Schade... Naja mal schauen vielleicht komm ich ja selbst drauf... 

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Dein Rechner kann sogar das Newton-Verfahren, beschrieben auf Seite 7 http://www.casio-schulrechner.de/materialdatenbanken/data/Kurzanleitung_FX-991DE%20X.pdf

Aaaber jetzt- bis danni! :-)

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Geht übrigens hier weiter https://www.mathelounge.de/506081/einen-funktionsterm-einen-taschenrechner-newtonverfahren :) 

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@gorgar

Habe es nun verstanden, auch danke an dich!

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Gerne!
Ich habe mich ein bisschen mit deinem Taschenrechner befasst und herausgefunden, wie man Gleichungen lösen und Terme eingeben kann. Wenn du Interesse hast, bereite ich ein kurzes Beispiel vor, wie man das Newton-Verfahren anwenden kann und trage es dann als Antwort auf der Seite ein, die Lu oben verlinkt hat.

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Wenn du einen Stern bekommen willst, kannst du einen seperaten Kommentar schreiben, da wie ich finde, du mehr arbeit als Oswald geleistet hast!

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Danke - Ist okay, mache ich auch gern, ohne einen Stern! :-)