Definitionsbereich, Lücke und Grenzwerte

Question

Muss die Aufgabe morgen lösen und das ist ein Thema was ich gar nicht kann...Könnte es wer jemand für mich machen bitte?

Kann es sein das bei Aufgabe a) der maximale Defintionsbereich Df=(4,1) ist?

..

Bestimmen Sie für f : Df → R, x 7→ f(x) = (x² +x-2) / ( l x² - 4 l * (x-1))

a) den maximal möglichen Definitionsbereich
b) untersuchen Sie das Verhalten an den Definitionslücken
c) und bilden Sie die Grenzwerte lim
x→∞
f(x) sowie lim
x→−∞
f(x) .
d) Fertigen Sie abschließend eine Skizze des Funktionsgraphen an.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Definitionsberech bzw. Lücke mit Grenzwert

Stichworte: definitionslücke,funktion

Muss die Aufgabe nochmal stellen, weil ich keine Antwort bekommen habe und die bis morgen abgeben muss. Das ist ein Thema was ich gar nicht kann...Könnte es wer jemand für mich machen bitte?

Kann es sein das bei Aufgabe a) der maximale Defintionsbereich Df=(4,1) ist?

..



Bestimmen Sie für f : Df → R, x 7→ f(x) = (x² +x-2) / ( l x² - 4 l * (x-1))

a) den maximal möglichen Definitionsbereich
b) untersuchen Sie das Verhalten an den Definitionslücken
c) und bilden Sie die Grenzwerte lim
x→∞
f(x) sowie lim
x→−∞
f(x) .
d) Fertigen Sie abschließend eine Skizze des Funktionsgraphen an.

Answer 1

f(x) = (x^2 +x-2) / ( abs ( x^2 - 4 ) * (x-1))

a) den maximal möglichen Definitionsbereich

Nenner = 0, Division ausschließen
abs ( x^2 - 4 ) * (x-1) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
abs ( x^2 - 4 ) = 0
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = +2
und
x = -2

x -1 = 0
x = 1

D = ℝ \ { -2; 1 ; 2 }

b) untersuchen Sie das Verhalten an den
Definitionslücken

c) und bilden Sie die Grenzwerte lim
x→∞
f(x) sowie lim
x→−∞
f(x) .

b.) + c.) kommen noch

d) Fertigen Sie abschließend eine Skizze des Funktionsgraphen an.

Comments

die x²-4 stehen ja als Betrag, ändert das was?

---

Am Def-Bereich nichts

abs ( x2 - 4 ) = 0
der Term in der Klammer muß null sein
deshalb kann das abs () entfallen.
x2 - 4 = 0

---

c.)
f(x) = (x^2 +x-2) / ( abs ( x^2 - 4 ) * (x-1))
Als Nenner kommt auf jeden Fall etwas
mit x^3 heraus. Bei
lim x−> ± ∞ kann verkürzt werden zu
[ x^2 / x^3 ] = 1 / x
( Die geringen Potenzen spielen dann keine Rolle
mehr. )
1 durch unendlich geht gegen null.

---

Für x = 1 gilt

Eine " hebbare Lücke "

Für die anderen Fälle siehe Roland.

Answer 2

x → f(x) = (x² +x-2) / ( l x² - 4 l * (x-1)) Zunächst kürzt man zu (x+2)/lx² - 4l (hebbare Definitionslücke bei x=1). Es bleiben aber die Definitionslücken x=-2 (Sprung) und x=2 (Pol). Hierzu macht man eine Fallunterscheidung: Fall 1: x²-4>0 oder x²>4 und Fall 2: x²<4.