Schau Dir das mal an. Vielleicht kommst Du damit klar.
Hi, vorgehen im Prinzip wie in https://www.mathelounge.de/508451/bestimmen-die-losung-der-partiellen-dgl-utt-uxx-3cos-sin-und#a508926
Hier ist \( \nu = a \), \( a(x) = \sin(x) \), \( b(x) = 24 \sin^5(x) \) und \( l = \pi \)
Damit ergibt sich \( u_n(x,t) \) zu
$$ u_n(x,t) = \sin(nx) \left[ c_n \sin(ant) + d_n \cos(ant) \right] $$
Den Term \( 24 \sin^5(x) \) kann man zerlegen in \( 24 \sin^5(x) = 15 \sin(x) - \frac{15}{2} \sin(3x) + \frac{3}{2} \sin(3x) \)
Damit ergeben sich die Koeffizienten \( c_n \) und \( d_n \) zu \( d_1 = 1 \) alle anderen sind Null und
\( c_1 = \frac{15}{a} \), \( c_3 = -\frac{5}{2a} \) und \( c_5 = \frac{3}{10a} \)
Insgesamt ergibt sich
damit die Lösung zu
$$ u(x,t) = u_1(x,t) + u_3(x,t) + u_5(x,t) $$ mit
$$ u_1(x,t) = \sin(x) \left[ \frac{15}{a} \sin(at) + \cos(at) \right] $$
$$ u_3(x,t) = -\frac{5}{2a} \sin(3x) \sin(3at) $$
$$ u_5(x,t) = \frac{3}{10a} \sin(5x) \sin(5at) $$
