Ich hab mal was probiert: Sei ε>0.
Wie groß muss δ sein, damit gilt
|x-y| < δ ==> | f(x) - f(y) | < ε
Dazu habe ich betrachtet:
| f(x) - f(y) | < ε
ist nach Umformung äquivalent zu:
| (x-y) |* | (1-xy) | < ε * (1 +x^2)*(1+y^2) ##
Dann kommt man wohl mit δ=ε zurecht; denn
|x-y| < δ hieße ja dann
| (x-y) |* | (1-xy) | < ε *| (1-xy) |
und wenn für alle x,y |1-xy| ≤ (1 +x^2)*(1+y^2) #
gezeigt werden könnte , hätte man ## gezeigt
und damit | f(x) - f(y) | < ε .
Bleibt noch # zu zeigen:
Dreiecksungleichung zeigt schon mal:
|1-xy| ≤ 1 + |xy|
Nun ist aber |xy| ≤ 2*|xy| ≤ x^2 +y^2
weil 2*|xy| ≤ x^2 +y^2 <==> ( |x| - |y| )^2 ≥ 0 gilt.
Also |1-xy| ≤ 1 + |xy| ≤ 1 + x^2 +y^2
≤ 1 + x^2 +y^2 +(xy)^2 = (1 +x^2)*(1+y^2) .
Damit ist auch # gezeigt.
