Funktion ausklammern und Potenzen kürzen

Question

Hallo :)

folgende Funktion:

O= 4 v₁^0,5   v₂^0,5

l₁= 1         l₂= 4

Formel: O'1 / O'2 = l1 / l2

O'₁₌  2v₁^-0,5 v₂^0,5 

O'₂= v₁^0,5 2v₂^-0,5

Diese Ableitung jetzt = 1/4 setzen. Allerdings wirft das zwei Fragen bei mir auf.

Wenn ich wenn ich den Nenner mal 1/4 nehme, müsste es dann nicht lauten:

2v₁^-0,5 = 1/4 x (v_{1 ^0,5} x 2v₂^-0,5)

2v₁^-0,5= 1/4 v₁^0,5 x 1/2v₂^-0,5

Ich gehe davon aus, dass vor dem v1 eine imaginäre 1 steht, deswegen habe ich es einfach x 1/4 gerechnet, scheint aber falsch zu sein.

Ich habe auch die Möglichkeit gesehen, dass man die Potenzen tauscht. Müsste ich dann nur die Exponenten bzw. die Vorzeichen tauschen oder die komplette Potenz?

Ich hoffe, ihr versteht was ich meine und könnt mir weiterhelfen :D

Comments

Könntest du noch die Komplette Aufgabenstellung anfügen, wie sie dir vorliegt.

Damit es leichter zu lesen ist verwende ich: v1 = u ; v2 = v

O'1 / O'2 = 2·u^{-0.5}·v^0.5 / (2·u^0.5·v^{-0.5})

O'1 / O'2 = 2·u^{-0.5}·v^0.5 * 1/2·u^{-0.5}·v^{0.5}

O'1 / O'2 = u^{-1}·v

O'1 / O'2 = v / u

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Das ist die Aufgabe, wobei ich eben nicht verstehe, wie man nach dem Gleichsetzen weiter macht.

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Es handelt sich hierbei um eine Extremwertaufgabe mit Haupt- und Nebenbedingung.

Die Hauptbedingung ist zu optimieren. Also hier die Kosten, die minimiert werden sollen.

Grundsätzlich gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. 

1. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen um nur noch eine Unbekannte zu haben.

2. Hauptbedingung ableiten und null setzen.

oder

1. Lagrange Funktion aufstellen

2. Alle partiellen Ableitungen bilden und gleich null setzen.

3. Das Gleichungssystem lösen.

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Wie man O'1 / O'2 vereinfacht habe ich dir ja oben gezeigt.

v / u = 1 / 4

Das kommt ja auch unten in meiner Lösung richtig heraus.

Answer 1

Nebenbedingung

O = 4·u^0.5·v^0.5 = 120000 --> v = 900000000/u

Hauptbedingung

K = 1·u + 4·v

K = 1·u + 4·900000000/u

K = 1·u + 3600000000/u

K' = 1 - 3600000000/u^2 = 0 --> u = 60000

v = 900000000/60000 = 15000

Kontrolle mit Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+1·u%2B4·v+with+4·u%5E0.5·v%5E0.5%3D120000&t=crmtb01

Das sieht also recht gut aus.

Comments

Erst mal danke für die Hilfe.

Allerdings klemmt es bei mir noch. Beim ersten Schritt habe ich nach v aufgelöst und habe 1/4 u raus. Das habe ich dann in die Produktionsfunktion eingesetzt.

4u^0,5 * (1/4u)^0,5 = 120.000

Ergibt nur leider was komplett anderes. 

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Ok. du möchtest 

4·u^0.5·v^0.5 = 120000

nach v auflösen. Kannst du das mal Schrittweise machen?

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v = 1/4*u = u/4

4·u^0.5·v^0.5 = 120000

4·u^0.5·(u/4)^0.5 = 120000

4·u^0.5·u^0.5/4^0.5 = 120000

4·u/2 = 120000

2·u = 120000

u = 60000

Und auch das hatte ich heraus.

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Ich löse es nach u auf:

4u^0,5 * 1/8 u ^0,5 = 120.000

1/2 u = 120.000

u= 240.000

u setze ich dann in ein um v raus zu bekommen :

1/4 * 240.000= 60.000 

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die 1/8 ist doch schon verkehrt in der ersten zeile.