Knickfrei und Krümmungsfrei Polynom 4.Grades

Question

Wir haben eine Aufgabe.  Leider kommen wir auch nicht klar. Wir haben verschiedene Lösungen. Könnte jemand uns hierbei helfen?

Comments

IMHO ist die Aufgabe so nicht lösbar. Krümmungsfrei ist ein Polynom nur in seinen Wendepunkten. Zwischen dem Anschlußstück \(P_1\)  und dem Anschluß an den Vietelkreis rechts bei \(P_2\) muss aber ein dritter Wendepunkt liegen, da die Straße von links kommend bei ca. \(-t/2\) von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht. Ein Polynom 4.Grades hat aber nur maximal 2 Wendepunkte!

Wahrscheinlich ist mit 'krümmungsfrei' 'frei von Sprüngen in der Krümmung' gemeint, mathematisch ausgedrückt: die 2.Ableitung soll stetig sein. Dann wäre bei \(P_2\) ein lokales Minimum. Das macht Sinn und würde gehen ...

---

Okay bin gerade am Lösen P2 ist 0/-50 

İn der aufgabenstellung ist es falschn angegeben

---

Kann uns das keiner vorrechnen, unser Rechnung wird nichts leider :(

---

Möglicherweise ist es ein Polynom fünften Grades?

---

aufgabenstellung steht 4.grades

Answer 1

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

f(-t) = 0
f'(-t) = 0
f''(-t) = 0
f(0) = -50
f'(0) = 0
f''(0) = 1/50

Als Lösung bekomme ich: a = 1/6000000 ∧ b = √3/22500 ∧ c = 1/100 ∧ d = 0 ∧ e = -50 ∧ t = 100·√3

f(x) = 1/6000000·x^4 + √3/22500·x^3 + 1/100·x^2 - 50

Skizze:

~plot~ 1/6000000*x^4 + sqrt(3)/22500*x^3 + 1/100*x^2 - 50;-sqrt(50^2 - x^2);[[-190|60|-90|90]] ~plot~

Comments

Hallo Coach,
- du hast für t ungefähr 150 eingesetzt was sicherlich
zur Demonstration sinnvoll ist

- Der Anfangs- und Endpunkt soll krümmungsfrei
sein. Also sind dies Wendepunkte.Dies entspricht den Bedingungnen
f''(-t) = 0
f''(0) = 0

- rechnet Brunner wirklich eine Funktion
4.Grades aus ? Ich überprüfe das gerade
einmal kurz.
Wieder zurück.
Nein. Brunner gibt eine Funktion 5.Grades an.

---

Hallo Georg,

lese bitte meinen Kommentar direkt hinter der Frage. Der Ausdruck 'krümmungsfrei' wird hier missverständlich benutzt.

Wer oder was ist 'Brunner'?

---

Brunner ist ein " oldie but goldie " internet-Rechner.
Auch für Steckbriefaufgaben geeignet.

Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f(-150) = 0
f'(-150) = 0
f''(-150) = 0
f(0) = -50
f'(0) = 0
f''(0) = 0

ein ( Die 6 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "

f(x) = -1/253125000·x^5 - 1/675000·x^4 - 1/6750·x^3 - 50

Du schriebst :
Krümmungsfrei ist ein Polynom nur in seinen Wendepunkten.

Ich halte
f ´´( 0 ) = 0 für eine richtige Annahme.
Dann kommt halt ein Polynom 5.Grades heraus.

---

Hallo Georg,

den Brünner kannte ich; blöd bloß, dass auch \(t\) gesucht ist. So nützt er nichts!

"Ich halte f ´´( 0 ) = 0 für eine richtige Annahme. " es ist im Wortsinn von 'krümmungsfrei' korrekt, aber nicht, wenn die Straße an der Position \((0;-50)\) 'stoßfrei' in den Kreis übergehen soll. Und auch nicht zusammen mit der Forderung nach dem 4.Grad.

Stelle Dir vor, Du fährst dort mit einem Fahrrad entlang und versuchst exakt(!) dem Straßenverlauf zu folgen. An der Position \((0;-50)\) müßtest Du sowohl senkrecht stehen (da "krümmungsfrei"!), als auch eine Schräglage einnehmen (wenn auch nur eine kleine), da Du Dich ja auf einer Kreisbahn befindest! Beides gleichzeitig geht nicht.

---

Hallo Werner,

Der Annahme " stoßfrei " stammt von dir und steht
nicht in der Frage. Außerdem weiß ich gar nicht
was das bedeuten soll.

Ich war selbst Radfahrer. Ein krümmungsfreies
Straßenstück bedeutet eine Gerade.

Die Funktion wurde so berechnet das das rechte
Ende der Strecke keine Krümmung aufweist.

Sobald das Teilstück in den Viertelkreis übergeht
gilt die Krümmung des Viertelkreises.

---

Achtung t ist nicht ca. 150 sondern eine weitere Unbekannte. Man hat also 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten. Das kann man lösen, allerdings nicht mit dem Internetrechner von arndt-brünner, weil man hier eine unbekannte stelle -t als weitere unbekannte hat.

Und das Gleichungssystem liefert dann nicht ungefähr 150 sondern exakt t = 100·√3.

"Ich halte f ´´( 0 ) = 0 für eine richtige Annahme. Dann kommt halt ein Polynom 5.Grades heraus. "

"Sobald das Teilstück in den Viertelkreis übergeht gilt die Krümmung des Viertelkreises."

Hier widersprichst du dir ja selber. ist der Graph an der Stelle 0 jetzt Krümmungsfrei oder gilt die Krümmung des Kreises. Ich denke letzteres ist der Fall. Und genau so habe ich auch meine Bedingungen aufgebaut.

---

ich habe mir deine Berechnung nochmals
angeschaut und bin dabei diese zu überprüfen.

Widersprechen möchte ich jetzt schon

Für f gilt
lim x −> 0(-) [ f ´´ ( x ) ] = 0
Für k gilt
lim x −> 0(+) [ k ´´ ( x ) ] = Krümmung Viertelkreis

---

k(x) = - √(50^2 - x^2)

k'(x) = x/√(50^2 - x^2)

k''(x) = 50^2/(50^2 - x^2)^{3/2}

k''(0) = 2500/2500^{3/2} = 1/50

---

Hallo Georg,

es ist mal wieder so ein typischer Dialog entstanden! Mal sehen, wann ich aufgebe ;-)

"Der Annahme " stoßfrei " stammt von dir und steht nicht in der Frage." Es steht 'Straße' in der Frage. Dies impliziert das. Polynom 5.Grades steht auch nicht in der Frage!

"Außerdem weiß ich gar nicht was das bedeuten soll." Was macht Dich dann so sicher genau zu wissen, was 'krümmungsfrei' bedeutet - bzw. was damit gemeint ist?

"Die Funktion wurde so berechnet dass das rechte Ende der Strecke keine Krümmung aufweist. Sobald das Teilstück in den Viertelkreis übergeht gilt die Krümmung des Viertelkreises." Genau - und welche Schräglage hätte Dein Fahrrad an dieser Stelle? Die der Gerade (also keine) oder die passend zum Kreis? Wir reden nur über einen Punkt \((0;-50)\).

---

Hallo Werner,

es interessiert mich schon was es mit der Frage
auf sich hat und wie diese zu verstehen ist.

Die Frage wurde von einem verzweifelten
Schüler gestellt. Es wäre schön wenn er
die richtige Antwort bekäme.

Unter " stoßfrei " kann ich mir immer noch
nichts vorstellen.

Was macht Dich dann so sicher genau zu wissen,
was 'krümmungsfrei' bedeutet .

Dafür gibt es für mich 4 Gründe
- ich habe in Wikipedia nachgeschaut
- der Begriff " krümmungsfrei "
wurde in der Frage auch für den Anfang
der Funktion verwendet und dort von
bisher allen an dieser Frage arbeitenden
als f  ´´ ( t ) = 0 eingestuft.
- in der Alltagssprache ist, wenn etwas
krümmungfrei ist, ein gerades Stück.
- mathematisch ist Krümmungsfreiheit am
Wendepunkt vorhanden.

Ich werde mich jetzt erst mit der Lösung
des Mathecoachs beschäftigen.

mfg Georg

---

Werter Georg,

"Der Graph von f soll knickfrei und krümmungsfrei in den Viertelkreis übergehen."

Das heißt doch ganz offenbar, dass mit diesen Begriffen der Übergang charakterisiert werden soll. Du beziehst aber "krümmungsfrei" auf eine Eigenschaft des Polynoms allein, jedoch hätte dann doch "knickfrei" gar nicht erwähnt zu werden brauchen, denn jedes Polynom ist überall knickfrei.

Der Autor der Aufgabe hat den Begriff "krümmungsfrei" falsch benutzt (sein zweiter Fehler), aber bei deiner Deutung hätte er den Fehler im Grad des Polynoms gemacht.

Ein Autofahrer hat sein Lenkrad auf dem Kreisbogen konstant so eingeschlagen zu halten, dass seine Vorderräder in einem bestimmten festen Winkel stehen, bei deiner Deutung müssen sie am Ende von Quadrant III aber geradeaus stehen. Ein solcher instantaner Übergang an einem einzigen Punkt ist nicht möglich, vielmehr müssen die Räder schon auf dem Graphen von f langsam in die auf dem Kreis benötigte Position gebracht werden. (Alte Achterbahnen haben zum Teil noch diesen Übergang von einem Geradenstück zu einer kreisförmigen Schiene, was für die Fahrgäste mit einem deutlich spürbaren Ruck verbunden ist.)

---

Hallo Georg,

Du hast immer noch nicht auf meine Frage in Bezug auf die Schräglage des Fahrrads im Punkt \((0;-50)\) geantwortet. Wie verhält es sich mit der Schräglage des Fahrrads, wenn Du von einem krümmungsfreien Stück in den Kreis einfährst?

---

Gern will ich dir Auskunft geben.

ich habe mir bisher über die Schräglage
eines Fahrrads beim Einfahren  von
f ( krümmungsfrei ) in k ( mit Kreiskrümmung )
noch keine Gedanken gemacht bzw. sehe
auch keinerlei Zusammenhang mit der
Frage.

Der Unterschied zwischen unseren Ansichten
ist doch : ist
f  ´´  ( 0 ) = 0 ( am Punkt P2 krümmungsfrei )
oder
f ´´ ( 0 ) = k ´´ ( 0 )

In der Frage steht  : f am Punkt P2
soll krümmungsfrei  sein
und nicht
die Krümmung von f soll am Punkt P2
der Krümmung von k entsprechen.

---

Hallo Coach,
bei meinem Ansatz
f(x) = a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x + e

f(-t) = 0
f'(-t) = 0
f''(-t) = 0
f(0) = -50
f'(0) = 0
f''(0) = 0

bekomme ich keine Lösung heraus.
Ich habe mittlerweile das dumpfe Gefühl
erst mit deiner Annahme
f''(0) = 1/50
kommt etwas heraus.

---

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "

Das Zeichen ist das Apostroph und ist als Ableitungsstrich (auch in anderen Zusammenhängen) auf jeden Fall richtiger, besser zu lesen und nützlicher zur Weiterverarbeitung als die völlig deplazierten Akut- oder Gravis-Zeichen, die manche Leute stattdessen meinen benutzen zu müssen...

---

Das "krümmungsfrei" in der Aufgabe ist sicher irreführend. Sicher soll das "krümmungssprungfrei" lauten.

Aber etliche Bezeichnen das auch anders. Auch krümmungsruckfrei etc.

Answer 2

> Polynom 4.Grades

Also f(x) = ax⁴ + bx³ + cx + d und somit

Durch den Punkt P₁(-t | 0) verlaufen:

        f(-t) = 0

Knickfrei bei -t:

        f'(-t) = 0

Krümmungsfrei bei -t:

        f''(t) = 0

Im Punkt P₂(0 | -50) in den Viertelkreis übergehen:

        f(0) = -50

Und zwar Knickfrei:

        f'(0) = 0

Und auch Ruckfrei:

        f''(0) = 1/50

Stelle das dazugehörige Gleichungsystem auf und Löse es.

Beachte dabei, dass ich die irrsinnige Angebage P₂(-50 | 0) durch P2 (0 | -50) ersetzt habe. Und zudem auch "Krümmungsfrei" durch "Ruckfrei".

Comments

"Und auch Krümmungsfrei: f''(0) = 0"

Du meinst ein Kreis ist Krümmungsfrei ?

Vorschlag: k(x) = −√(50^2 - x^2)

Und dann als Bedingung: f''(0) = k''(0)

Answer 3

Hallo nfk99,

ich meine die Aussagen wären

f(-150) = 0
f'(-150) = 0
f''(-150) = 0
f(0) = -50
f'(0) = 0
f''(0) = 0 ( Wendepunkt, krümmungsfrei )

f (x) = -1/253125000·x^5 - 1/675000·x^4 - 1/6750·x^3 - 50

Es ergibt sich eine Funktion 5.Grades.

Vielleicht ist der Grad in der Frage nur falsch
angegeben.

Es wurde t = -150 angenommen.
Es kann auch mit " t " gerechnet werden.
Ich kann bei der manuellen Berechnung
behilflich sein.

Ist noch in Arbeit.

Comments

Wenn man " krümmungsfrei " ersetzt durch
" ohne Sprung im Krümmungswert " dann
stimmen die Lösungen des Mathecoachs
und Oswalds.