Rekursiv definierten Folgen (a(n)) n element N auf Konvergenz und Grenzwert untersuchen

Question

a)

(1)  a(1)=3/2       a(n+1)=3/4-a(n)

(2)  a(1)=5  a(2)=4    a(n+2)=3/2a(n+1)-1/2a(n) für alle n element von N

 

Hinweis zu (2): Beweisen Sie, dass die Folgenglieder für n ≥ 1 die explizite Gestalt a(n)= α+β*(1/2)^n mit geeigneten α, β element von Rbesitzen.

 

b)

(1) Konvergiert die Folge (c(n) n element N mit c:=a(n)*b(n), falls (b(n)) n element N eine konvergente Folge ist? Begründen Sie Ihre Antwort und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.

(2) Konvergiert die Folge (c(n))n element N mit c(n):=a(n)*b(n) eine Nullfolge ist? Begründen Sie Ihre Antwort und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.

 

 

Ich check das ganze einfach nicht!!!! :((((

Answer 1

Ein Anfang von Aufgabe a):

a)

(1)  a(1)=3/2       a(n+1)=3/4-a(n)

a(1) = 3/2

a(2) = -3/4

a(3) = 3/2

a(4) = -3/4

Man sieht, dass die Folge 2 Häufungspunkte hat: bei 1.5 und bei -0.75

Sie konvergiert also nicht.

Mit einem andern Startwert könnte die Folge ev. konvergieren. 

Falls es einen Grenzwert gibt, muss dort (im Unendlichen)

a(n) = a(n+1) gelten

x = 3/4 - x

2x = 3/4

x = 3/8 

Somit wäre der Grenzwert 3/8. Aber wie schon gezeigt existiert er nicht.

 

(2)  a(1)=5  a(2)=4    a(n+2)=3/2a(n+1)-1/2a(n) für alle n element von N

 

Hinweis zu (2): Beweisen Sie, dass die Folgenglieder für n ≥ 1 die explizite Gestalt a(n)= α+β*(1/2)^n mit geeigneten α, β element von R besitzen.

Ich rechne ein paar Folgenglieder aus und sehe, dass  α = 3 und β = 4 sein müssen.

a(1) = 5 = 3 + 2 = 3 + 4*1/2

a(2) = 4 = 3 + 1 = 3 + 4*1/2^2

a(3) = 3.5 = 3 + 1/2 = 3 + 4*1/2^3

a(4) = 3.25    = 3 + 1/4 = 3 + 4 * 1/2^4

a(5) = 3.125… = 3+ 1/8 = 3 + 4 * 1/2^5

Also a(n) = 3 + 4 * 1/2^n 

Grenzwert für n ---> unendlich  ((a(n)) = 3 + 0 = 3

Nun müsste man wohl noch beweisen, dass α = 3 und β = 4 sein müssen.

Comments

(1) Konvergiert die Folge (c(n) n element N mit c:=a(n)*b(n), falls (b(n)) n element N eine konvergente Folge ist? Begründen Sie Ihre Antwort und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.

Nein. Als Begründung genügt ein Gegenbeispiel:

Seien (a(n)) = (n² ) und (b(n)) = (1/n)

So konvergiert (c(n)) = (a(n)*b(n)) = (n)  n Element R nicht.

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Hier müsste man die Fragestellung erfinden. Ich ergänze mal in blau irgendwas

(2) Konvergiert die Folge (c(n))n element N mit c(n):=a(n)*b(n) wenn b(n) eine Nullfolge ist? Begründen Sie Ihre Antwort und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.

Für diese Version gilt: Nein.

Man kann dasselbe Gegenbeispiel benutzen wie in b) (1)

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Zum Grenzwert kann man sagen: wenn sich im Unendlichen die Werte nicht mehr ändern, gilt:

x = 1.5x - x

Also x = x . Das sollte also klappen.

Offen ist noch der Beweis für den Tipp. vgl. Lsg. von Mathecoach

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Hi Lu. Ich habe mal den Beweis gemacht , dass α = 3 und β = 4 sein müssen.

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Danke. Hab da mehrmals lesen müssen, um festzustellen, wie weit du genau bist.

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Es wäre übrigens auch möglich unter b) die Annahme zu machen das mit a(n) aus a) gerechnet werden soll. Ich denke hier ist die Aufgabenstellung sehr undeutlich.

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Nur welche solls denn sein? (a(n)) von (1) oder (2) oder beides?

Answer 2

a) (2)

Es soll gezeigt werden das die Folge die explizite Form

a(n) = a+b*(1/2)^n

hat. Nun kennen wir die ersten beiden Folgeglieder

a(1) = 5
a + b/2 = 5

a(2) = 4
a + b/4 = 4

Das ist ein LGS mit der Lösung a = 3 und b = 4

a(n) = 3+4*(1/2)^n

Nun soll gelten:

a(n+2) = 3/2 * a(n+1) - 1/2 * a(n)
3+4*(1/2)^{n+2} = 3/2 * (3+4*(1/2)^{n+1}) - 1/2 * (3+4*(1/2)^n)
2^{-n} + 3 = 3·2^{-n} + 9/2 - (2^{1 - n} + 3/2)
2^{-n} + 3 = 2^{-n} + 3

Das stimmt. Damit ist die explizite Form der Folge bestätigt.

lim n-->∞ 3+4*(1/2)^n = 3

Also geht die Folge gegen 3.

Answer 3

b) Was ist hier mit a(n) gemeint? Sind damit die Folgen aus a) gemeint?

Ich diskutiere die Aufgaben für allgemeine Folgen und sage dann noch jeweils etwas zu den Folgen aus a).

 

I) Unabhängig davon, ob die Folge a rekursiv definiert ist oder explizit, gilt:

Wenn a(n) und b(n) konvergent sind, dann ist auch a(n)*b(n) konvergent und konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte.

Der Beweis erfolgt leicht über die Definition der Konvergenz: wenn der Folgenindex n groß genug ist, wird die Differenz zwischen a(n) und a (bzw. b(n) und b) beliebig klein. Mit anderen Worten: die Folgen e(n) und d(n), die definiert sind durch

e(n) := |b(n)-b|
d(n) := |a(n)-a|

sind Nullfolgen.

Es gilt also:
|b(n)-b|*|a(n)-a| = |b(n)*a(n)-b*a(n)-a*b(n)+a*b| = e(n)*d(n)

Da in b*a(n) und a*b(n) jeweils nur eine Folge enthalten ist, sind deren Konvergenzen trivial und es gilt

b*a(n) → b*a
a*b(n) → a*b

Zu zeigen ist nun nur noch, dass mit e(n), d(n) Nullfolgen auch e(n)*d(n) Nullfolge folgt.

 

Dass die beiden Folgen Nullfolgen sind, bedeutet, dass für jedes noch so kleine ε ein n₀ existiert, sodass für jedes n, das größer ist, |e(n)| < ε gilt.

Für ein gegebenes ε lassen sich also insbesondere auch ein n₀ und ein m₀ finden, sodass |e(n)|<√ε und |d(m)|<√ε für alle m>m₀ und n>n₀. Sei nun k₀>m₀, n₀, dann gilt:
|d(k)|*|e(k)| = |d(k)*e(k)| < ε für alle k > k₀

Also ist d(n)*e(n) eine Nullfolge.

Damit konvergiert |b(n)*a(n)-b*a(n)-a*b(n)+a*b| gegen 0, also konvergiert b(n)*a(n) gegen b*a, was zu beweisen war.
Dies gilt z.B. im Fall II aus (a).

 

Wenn a(n) nicht konvergent ist, kann auch b(n)*a(n) nicht konvergieren.

Wenn a(n) nicht konvergiert, bedeutet das, dass ein ε existiert, sodass für alle n₀ gilt, dass darüber noch n existieren, für die die Folge die Epsilonumgebung eines jeden Punktes verlässt. Wenn das aber so ist, dann kann auch kein Punkt existieren, in dessen Epsilonumgebung a(n)*b(n) bleibt, es sei denn, b(n) konvergiert gegen 0, aber dazu im zweiten Teil.

Ist a(n) divergent und b(n) ist keine Nullfolge, dann ist auch das Produkt divergent.
Divergenz ist so definiert, dass für alle c ein Index n₀ existiert, ab dem alle Folgenglieder größer sind als dieses c. Solange b keine Nullfolge ist, existiert (wegen der Konvergenz) eine untere Schranke K, sodass gilt:
a(n)*b(n) > a(n)*K → ∞

 

II) Wenn b(n) eine Nullfolge ist, dann braucht a(n) nur beschränkt zu sein, damit das Produkt konvergiert. Denn wenn gilt:
|a(n)| < K, dann gilt:
|b(n)*a(n)| = |b(n)|*|a(n)| < |b(n)|*K → 0

Also geht auch das Produkt gegen 0.
Das trifft auf beide Folgen aus a) zu.

Wenn a(n) divergent ist, also keine solche Schranke existiert, kann keine allgemeine Aussage über die Konvergenz des Produktes getroffen werden.