Sehnenviereck und Winkelhalbierende

Question

Warum bilden die Schnittpunkte der Winkelhalbierende eines allgemeinen Vierecks wiederum ein Sehnenviereck ? 

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Die Frage müsste heißen: "Warum liegen die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden eines allgemeinen Vierecks auf einem Kreis." Zufälig können sich drei Winkelhalbierende in einem Punkt schneiden. Dann ergäbe sich ein Dreieck und kein Viereck.

Answer 1

Hallo Anna-Lena,

In der Skizze habe ich das Viereck ABCD eingezeichnet. Die gelben Geraden sind die Winkelhalbierenden der vier Winkel im Viereck. Sie schneiden sich in den Punkten E bis H und bilden ein neues Viereck EFGH.

Die Winkelsumme in jedem Viereck ist 360°. Wenn man jeden der Winkel halbiert, so ist die Summe aller halben Winkel 180°. Also muss die Summe aller blauen Winkel in der Skizze auch =180° sein. Die Winkelsumme in den beiden grün markierten Dreiecken muss zusammen 360° betragen (2 Dreiecke a 180°). Ziehe ich von dieser Summe die 180° der blauen Winkel ab, so erhält man für die Summe der übrigen - also der roten - Winkel 180°. Da die roten Winkel die Scheitelwinkel der gelben sind, muss die Summe der gelben ebenfalls 180° betragen.

Ein Viereck, in dem die Winkelsumme zweier gegenüberliegender Winkel (hier der beiden gelben) gleich 180° ist, ist ein Sehnenviereck, hat also einen Umkreis.