Beschränktheit von f(x)= x/(1+x^2) Df = ℝ begründen

Question

f(x)= x/(1+x²)  D_f = ℝ  ich würde sagen das ist nach oben mit 1 beschränkt und hat nach unten keine beschränkung aber die lösung ist OS=1 und US= -1 wie kommt das?

Comments

Gilt nicht -1/2 ≤ f(x) ≤ 1/2 ?

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ja stimmt mit 1 kommt ja 1/2 raus.Kann es sein das 1 und -1 als obere bzw. unterschranke gesehen werden weil sie halt über 1/2  und unter -1/2 ist weshalb die aussage mit 1 und -1 nicht falsch wäre?

Answer 1

die Funktion ist stetig auf ℝ. Untersuche die Funktion nun auf Minima und Maxima und

betrachte das Grenzwertverhalten x --> ±∞. Schlussfolgere daraus den Wertebereich.

PS: deine angegebenen Lösungen sind nicht die größte/kleinste untere/obere Schranke

Answer 2

US=-1 kannst du so begründen:

f(x) ≥ -1

<=>   x/(1+x^2)  ≥ -1

<=>   x  ≥   -1*(1+x^2) 

<=>   x  ≥   -1 - x^2

<=>    x^2 +x + 1    ≥ 0

<=>    x^2 +x + 1/4 -1/4  + 1    ≥ 0

<=>    (x+1/2)^2 + 3/4    ≥ 0

und das gilt sicher für alle x ∈ ℝ.

Und wenn du mit -0,5 beginnst, klappt es auch.

Comments

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US=-1 kannst du so begründen:

f(x) ≥ -1

<=>  x/(1+x2)  ≥ -1

<=>  x  ≥  -1*(1+x2)

<=>  x  ≥  -1 - x2

<=>    x2 +x + 1    ≥ 0

<=>    x2 +x + 1/4 -1/4  + 1    ≥ 0

<=>    (x+1/2)2 + 3/4    ≥ 0

Wie kommst du auf den rot makierten schritt?

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Nennt sich: "quadratische Ergänzung" .

siehe auch: https://www.youtube.com/watch?v=JLADCKXbeNE