Geringsten Abstand zweier Punkte von Kugeln berechnen

Question

Ich benötige Hilfe bei dieser Aufgabe:

Die Kugeln K₁ und K₂ schneiden sich nicht. Welche beiden Punkte von K₁ und K₂ haben den geringsten Abstand voneinander?

K₁: x^2 + y^2 + z^2 = 81

K₂: (x - 6)^2 + (y - 12)^2 + (z - 12)^2 = 36

Ich habe zunächst die Mittelpunkte und den Radius der Kugeln abgelesen.

M₁ (0 | 0 | 0), r₁ = 9

M₂ (6 | 12 | 12), r₂ = 6

Wie muss ich weiter rechnen? Macht es Sinn eine Geradengleichung aufzustellen und dann zu schauen, wo diese Gleichung die beiden Kreise schneidet?

Answer 1

Macht es Sinn eine Geradengleichung aufzustellen und dann zu schauen,

wo diese Gerade die beiden Kugeln  schneidet?

Ja, das macht viel Sinn.  Das gibt 4 Schnittpunkte und die 

beiden mittleren sind die gesuchten.

wenn man die Geradengleichung   

x= r*(6;12;12)^T nimmt, bekommt man die Lösungen 

r= ±1/2   und   ( r=4/3   oder r=2/3 ) 

also sind die beiden Punkte die für r=1/2 und für r= 2/3 , also 

P1=(3;6;6) und P2(4;8;8).

Comments

Muss ich die Geradengleichung in die Kugelgleichungen einsetzen? Ich komme nämlich nicht auf die Ergebnisse.

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Ja einfach einsetzen, dann gibt es bei der 1.Kugel:

x2 + y2 + z2 = 81

mit der Geraden  g:  x= r*(6;12;12)T

36r^2 + 144r^2 + 144r^2 = 81 

<=> 324r^2 = 81 

<=> r^2 = 0,25 

<=> r= ±0,5   Passt doch !

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Ich habe es versäumt die r zu quadrieren. Vielen Danke für deine Hilfe!

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Wieso war es hier nahliegend, die Geradengleichung x = r(6;12;12) (wofür steht das hoch T?) auszuwählen?

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hoch T meint: "transponiert" also statt der

Zeile den Vektor als Spalte geschrieben.

Das ist wohl üblich.

Und dann ist es die Gerade durch die beiden Mittelpunkte.

Answer 2

> Macht es Sinn eine Geradengleichung aufzustellen

Ja.

> und dann zu schauen, wo diese Gleichung die beiden Kreise schneidet?

Ja.

Einfacher finde ich aber vollgendes Forgehen:

\(\vec{m_1}\) sei der Ortsvektor von M₁, \(\vec{m_2}\) der von M₂.

Berechne \(\vec{v} = \vec{m_2} - \vec{m_1}\).

Berechne \(\vec{w} = \frac{1}{\left|\vec{v}\right|}\cdot \vec{v}\).

Beechne \(\vec{m_1} + r_1\cdot\vec{w}\). Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes auf K₁.

Beechne \(\vec{m_2} - r_2\cdot\vec{w}\). Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes auf K₂.

Answer 3

Der Vektor \( \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = \begin{pmatrix} 6\\12\\12 \end{pmatrix} \) mit Länge 18 gekürzt auf Länge 9 ist \(  \begin{pmatrix} 3\\6\\6 \end{pmatrix} \)

Der Vektor \( \overrightarrow{M_{2}M_{1}} = \begin{pmatrix} -6\\-12\\-12 \end{pmatrix} \) mit Länge 18 gekürzt auf Länge 6 ist \(  \begin{pmatrix} -2\\-4\\-4 \end{pmatrix} \)

\( \overrightarrow{0P_{1}} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\6\\6 \end{pmatrix} \quad \quad \quad \quad \overrightarrow{0P_{2}} = \begin{pmatrix} 6\\12\\12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\-4\\-4 \end{pmatrix} \quad \quad \quad \quad \text{Abstand} = 3\)