Aus Vektoren eine Basis wählen

Question

Hi,

ich bin gerade am Lernen für die Klausur und weiß leider nicht, wie ich folgende Aufgabe löse. W könnge ja beispielsweise der R^3 sein, da aber nur 2 der 3 Vektoren linear unabhängig sind würde ich mich für den R^2 entscheiden. Allerdings sind die Vektoren dann ja immernoch 4-Tupel. Für den R^2 müssten es 2-Tupel sein, oder? 

Weiß jemand was hier zu tun ist?

LG louanne

Answer 1

Hallo Louanne,

> Für den R² müssten es 2-Tupel sein, oder?    So ist es. 

 \(\vec{a}\)  = \(\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3\\ 0 \end{pmatrix}\)  ;   \(\vec{b}\)  = \(\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 7\\ -1 \end{pmatrix}\) ;   \(\vec{c}\)  = \(\begin{pmatrix}5 \\ -4 \\ -5\\ 2 \end{pmatrix}\)  ;

 \(\vec{c}\)  =  3 * \(\vec{a}\) - 2 * \(\vec{b}\)  ist eine Linearkombination von  \(\vec{a}\) und  \(\vec{b}\)

         →    { \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) , \(\vec{c}\) }  ist linear abhängig.

Da  B = { \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) }  linear unabhängig ist (\(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind keine Vielfachen voneinander), ist  B eine Basis des von den drei Vektoren aufgespannten Unterraums W ⊂ ℝ⁴                   ( natürlich spannt B allein den Unterraum W auch auf ).

Gruß Wolfgang

Comments

Erstmal danke.

Aber Vektor a und Vektor b sind ja immernoch 4-Tupel. Ich dachte halt, dass eine Basis des R^4 aus 4 Vektoren mit 4-Tupeln bestehen muss. Jetzt haben wir mit Vektor a und Vektor b eine Basis aus 2 Vektoren mit 4-Tupeln.

Das versteh ich noch nicht ganz.

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Hallo Louanne,

es handelt sich um einen Teilraum eines Vektorraumes. Betrachte zum Beispiel eine Ursprungsgerade im R^3. Alle Punkte auf der Geraden besitzen 3 Koordinaten. Trotzdem ist diese Gerade ein Vektorraum der Dimension 1, weil dieser Vektorraum nur von einem Vektor (dem Richtungsvektor der Gerade) aufgespannt wird.

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Hi,

Also ist es richtig 2 Vektoren mit 4-Tupeln zu nehmen?

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Ja,  2 Vektoren mit 4-Tupeln sind richtig