Stetigkeit der Funktion f auf ganz IR. Beispiel f(x) = ( x^2 +2x- 3) / (x+3)

Question

Ist die Funktionen f in ihrer Definitionsmenge stetig? Begründen Sie Ihre Antwort. Läßt sich die Funktion f stetig auf ganz IR ergänzen?

Wie gehe ich allgemein and so was ran?

EDIT: Beispiel f(x) = ( x^2 +2x- 3) / (x+3)

Answer 1

Da keine weitere Information vorhanden ist, schaue ich mal in meine Glaskugel.

Vielleicht ist der Funktionsterm ein Bruch, der für mindestens einen Wert von xo im

Nenner eine 0 ergibt. Für diesen x-Wert ist dann ja nichts definiert, also kann die

Funktion auch nicht auf ganz ℝ stetig sein. Möglicherweise ist sie aber an dieser

Stelle stetig ergänzbar, das ist sie, wenn der Grenzwert von f für x gegen xo

existiert und den Wert g hat.   Wenn man dann f(xo)=g ergänzt, ist die

neue Funktion überall stetig.

Comments

Genau wie du es gesagt hast. f(x) = ( x² +2x- 3) / (x+3) ist die funktion^^ .Wie überprufe ich erstmal, ob sie in ihrer defmenge stetig ist und und die erklärungzu  stetig ergänzbar hab ich verstanden aber kann sie nicht rechnen ich habe nie verstanden wie mann x einem wert xo annährt die idee verstehe ich ja aber wie man das rechnerisch beweist ist mir fremd

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Stetig auf ℝ \ { - 3} ist sie, weil gebr. rationale Funktionen immer

auf dem ganzen Definitionsbereich stetig sind.

Den Grenzwert kannst du so bestimmen:  Betrachte  x= -3+h und

dann f(-3+h)   und überlege, was für h gegen 0 passiert:

f( -3+h ) =  ( ( -3+h)^2 +2(-3+h) - 3 ) /  ( -3+h+3)

       = ( 9  - 6h + h^2 - 6  +2h - 3 ) / h

         = (h^2 - 4h  ) / h 

         = h  - 4   

Für h gegen 0 ist der Grenzwert 8, also lässt es sich durch 

        f(-3) =  -4    zu einer überall stetigen Funktion ergänzen.

Alternative 1:   Polynomdivision: (x^2 +2x- 3)  :  (x+3)  = x - 1 

Da siehst du sofort: Für x gegen -3 geht es gegen -4.

Alternative 2:  (x^2 +2x- 3)  /  (x+3) 

Zähler faktorisieren (z.B. pq-Formel) gibt

                    = ( x-1)(x+3)   also 

f(x) = ( x-1)(x+3) / (x+3)   = x-1 für x≠-3

    

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Den ersten Teil hab ich verstanden polynome sind immer stetig und division von zwei polynomen auch also kann man sagen das die funktion stetig für x E D ist

Zum zweiten tei. in der schule haben wir stetigkeit an xo in diesem fall -3 überprüft in den wir einmal den lim x--> xo und x<xo gemacht haben und einmal x--xo x>o. aber ich verstehe einfach nicht wo der unterschied ist ob man jetz vobn kleiner xo oder größer sich xo nähert

.Ich würde gerne zu methode von der schulen sticken,weil ich micht nicht mehr verwirren will bloß weiß ich

Answer 2

 f ( x ) = ( x^2 +2x- 3) / (x+3)

D = ℝ \ { -3 }

Stetig ergänzbar ?
Hier 2 Möglichkeiten dies zu untersuchen

1.)
Satz des Vieta anwenden
f ( x ) = ( x^2 +2x- 3) / (x+3)
f ( x ) = [ ( x + 3 ) * ( x -1) ] / (x+3) | kürzen
g ( x ) = x - 1
g ( -3 ) = - 4
Es handelt sich also bei x = -3 um eine hebbare
Lücke.

2.)
Eine Polynomdivison
x^2 +2x- 3 :  x+3 =
würde auch
x -1 ergeben