Question

Beweise min(M) = -max(-M).

Bitte um Kontrolle.

A:

x := min(M)

x ∊ M, x <= M (laut Definition)

x∊M, x <= y für alle y∊M (laut Definiton)

B:

x := -max(-M)

-x = max(-M)

-x∊-M, -x >= -M (laut Definiton)

-x∊-M, -x >= z für alle z∊-M (laut Definition)

x∊M (der Teil ist glaube ich selbstverständlich oder muss ich hier was erklären), x <= -z für alle -z∊M (hier habe ich jedes -x und jedes z mit -1 multipliziert). -z und y sind beliebige Elemente von M ich kann also -z := y schreiben. Also bekomme ich bei B: x∊M, x <= y für alle y∊M raus.

Aus A und B folgt die Gleichheit.

Answer 1

mir erscheint ein formaler Fehler vorzulegen in

"x ∊ M, x <= M (laut Definition)".

Ein Element kann nicht kleiner oder größer einer Menge sein. Richtig ist die darauf folgende Aussage:

"x∊M, x <= y für alle y∊M (laut Definiton)".

Ebenso würde ich auf die Zeile

"-x∊-M, -x >= -M (laut Definiton)"

verzichten und nur

"-x∊-M, -x >= z für alle z ∊-M (laut Definition)"

hinschreiben. Die finale Umschreibung in dieser Schreibweise sollte dann lauten:

-x >= -z für alle (-z) ∊ -M,

x <= z für alle z ∊ M.

MfG

Mister

Comments

Danke Mister. Der Ausdruck "x <= M" ist formal richtig, da er in meinem Buch so definiert wurde. Es bedeutet, dass x kleiner oder gleich y, wobei y ein beliebiges Element von M. Ist meine Lösung ansonsten richtig? Es ist im Prinzip egal ob ich z oder -z nehme, oder? Am Ende kann ich z bzw. -z mit y gleichsetzen, da es sich um beliebige Elemente der selben Menge handelt, richtig?

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Wie ist eigentlich -M in deinem Buch definiert?

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-M wurde in meinem Buch gar nicht definiert. Für den Autor war es bestimmt selbstverständlich. Ich selber betrachte -M so: Sei y ein beliebiges Element von M. -M ist die Menge, die -y als Elemente entält.

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Okay, das heißt die Existenz eines Elementes -x wird vorausgesetzt, was ja nicht unbedingt selbstverständlich ist. M ist also eine Teilmenge einer Obermenge K, sodass gilt: Für alle x aus M existiert -x aus K. Es gilt also sowohl M ⊂ K als auch -M ⊂ K. Zudem müssen wir an die Ordnung der Menge K die Bedingung stellen, dass aus x < y auch tatsächlich -x > -y folgt.

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Mister, es geht hier um reelle Zahlen (das habe ich vergessen zu sagen). M ist also eine Teilmenge von R und dadurch selbstverständlich auch -M.

"Zudem müssen wir an die Ordnung der Menge K die Bedingung stellen, dass aus x < y auch tatsächlich -x > -y folgt."

Das habe ich schon für reelle Zahlen bewiesen, deshalb war das für mich selbstverständlich.

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Bei reellen Zahlen ist das auch für mich selbstverständlich :)

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So selbstverständlich wie die Eigenschaft x < y ⇒ -x > -y ist ja auch die Aussage. Denn ist x das Minimum einer Menge M, so ist -x das Maximum der Menge -M, sofern M ⊂ ℝ.

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"Denn ist x das Minimum einer Menge M, so ist -x das Maximum der Menge -M, sofern M ⊂ ℝ."

Naja, es ist nur die Aussage ausführlich formuliert, auch wenn sie so selbstverständlich ist. Es ist immer noch kein Beweis. Ist ansonsten alles in meinem Beweis richtig? Kann ich mir entweder -z oder z als beliebiges Element einer Menge nehmen und dieses -z / z dann mit y gleichsetzten - so wie ich das gemacht habe?

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Naja, ich sage mal so: Alle z aus M sind auch alle y aus M.