den Ausdruck \(\frac{-1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}}\) kann man umformen in
$$\frac{-1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}} = \cos \frac54\pi + i \cdot \sin \frac54\pi = e^{i \cdot \frac54 \pi}$$ Daraus folgt dann aus dem gegebenen Ausdruck oben
$$(z + 1 - 2i)^3 =\frac{-1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}}= e^{i \cdot \frac54 \pi}$$ $$z + 1 - 2i = e^{i \cdot \left( \frac{5}{12} + k \cdot \frac23 \right) \pi} \quad k \in \{ 0;1;2 \}$$
weiter ist \(\frac{5}{12}\pi = 75°\), daraus folgt
$$e^{i \cdot \frac{5}{12} \pi} = \frac14\left( \sqrt{6} - \sqrt{2}\right) + i \cdot \frac14\left( \sqrt{6} + \sqrt{2}\right) $$ also: $$z_1 + 1 - 2i = \frac14\left( \sqrt{6} - \sqrt{2}\right) + i \cdot \frac14\left( \sqrt{6} + \sqrt{2}\right) $$ $$z_1 = \frac14\left( \sqrt{6} - \sqrt{2}\right) - 1 + i \cdot \frac14\left( \sqrt{6} + \sqrt{2} + 8\right) $$ \(z_{2,3}\) überlasse ich Dir.
Gruß Werner
