Ableitungen: Bestimmen Sie Formeln für (f · g)''(x),

Question

Aufgabe Ableitungen:

Bestimmen Sie Formeln für:

1. (f · g)''(x)

2. (f ◦ g)''(x)

3. (e^{f(x)})'

Answer 1

Einfach nur Produkt und Kettenregel auf die zweite Ableitung erweitern:

$$\begin{aligned}(f\cdot g)\color{green}'\color{brown}'(x) & \color{brown}= (\color{red}{f'(x)\cdot g(x)} + \color{blue}{f(x)\cdot g'(x)})\color{green}'\\ & \color{green}= \color{red}{f''(x) \cdot g(x) + f'(x)\cdot g'(x)} + \color{blue}{f'(x)\cdot g'(x)+f(x)\cdot g''(x)}\\ & = f''(x)\cdot g(x)+ 2\cdot f'(x)\cdot g'(x)+f(x)\cdot g''(x)\end{aligned}$$

Answer 2

(f ◦ g)''(x)=(f '(x)·g'(x))'=f ''(x)·g'(x)+f '(x)·g''(x).

Comments

"Alles Quatsch ! " was niemandem hilft.

$$ \begin{aligned} (f \circ g)'' &= \left(f'(g(x)) \cdot g'(x)\right)' \\&= \left((f'\circ g )(x) \cdot g'(x)\right)' \\&= f''(g(x)) \cdot (g'(x))^2 + (f'\circ g )(x) \cdot g''(x) \\&= (f''\circ g)(x) \cdot (g'(x))^2 + (f'\circ g )(x) \cdot g''(x)\end{aligned}$$

Answer 3

e^{f[x]} ' =f'(x)* e^{f[x]}