reelle Zahlen t bestimmen (komplexe Zahlen)

Question

die Gleichung ist

z²-8z+t² = 0

bestimmt werden für welche t es 

-zwei verschiedene reelle

-eine reelle

-zwei konjugiert komplexe (was ist das überhaupt?)

Lösungen gibt?! Wie lauten diese?

Mein Ansatz wäre, das einfach mal in die pq Formel einzugeben, doch irgendwie bringt mich das nicht weiter...:(

Answer 1

Meine Berechnung:

Answer 2

Mein Ansatz wäre, das einfach mal in die pq Formel einzugeben,

Prima Idee, das gibt 

 x_1,2 = -4 ±√(16-t^2) 

-zwei verschiedene reelle, wenn in der Wurzel etwas positives steht,

also für den Fall 16>t^2 .

-eine reelle  wenn 16-t^2 = 0 ist, also für t=4 oder t=-4 

-zwei konjugiert komplexe (was ist das überhaupt?)

      für 16<t^2 da ist √(16-t^2) =   i*√(-16+t^2) , also die 

konjugiert komplexen Lösungen  x1,2 = -4 ±i*√(-16+t^2) 

Answer 3

   Sei

          z  =  a  +  b  i      (  1a  )

    Dann heißt diejenige Zahl z * konjugiert komplex zu ( 1a ) , die durch Spiegelung von ( 1a ) an der reellen Achse entsteht:

     z *  :=  a  -  i  b         (  1b  )

    Warum ist das so wichtig? Du hast einen echten Bildungsbedarf; schau dir mal den ===> Fundamentalsatz der Algebra an. Und dann den Beweis, wenn ein Polynom reell ist, warum dann mit z auch gleichzeitig immer z * Nullstelle des Polynoms sein muss.

   Weil wenn du das mal begriffen hast, dann folgt aus dieser Symmetrie, dass JEDES UNGERADE POLYNOM EINE REELLE WURZEL HABEN MUSS .

   Das ind alles so Grundwahrheiten; ich helf dir da gerne. Oder du fragst mal deinen Lehrer.

   Wenn du mich fragst. Deine Aufgabe würd ich jedoch mit dem Satz von Vieta angehen. Abwr mich fragt ja keiner ...

   Dein Polynom lautet

  

       f  (  x  )  :=  x  ²  -  p  x  +  q      (  2a  )

           p  =  8  ;  q  =  t  ²     (  2b  )

     Jetzt denk doch mal direkt von den komplexen Lösungen her;  dann verlangt Vieta

        p  =  2  Re  (  z0  )  ===> Re  (  z0  )  =  4    (  3a  )

     q  =  |  z0  |  ²  ===>  |  z0  |   =  t        (  3b  )

  

    In ( 3b ) mach ich mal die vereinfachende Annahme t > 0 . Nun kann der Realteil einer komplexen Zahl nicht größer als ihr Betrag sein; für komplexe Lösungen müsste daher gelten

            t  >  4       (  4  )

    Wenn t < 4 , hast du mit Sicherheit zwei reelle Wurzeln; im Grenzfall t = 4 eine reelle Doppelwurzel ( die dann als wurzel aufgefasst wird, die zu sich selber konjugiert ist. )

   Noch Fragen?