Beweise von Reelle Zahlen

Question

Aufgabe:

Beweisen sie:

1.Sind x,y rationale Zahlen, dann gibt es r∈Q und s∈R∖Q , sodass x<r<y und x<s<y.
2.Sind x,y irrationale Zahlen, dann gibt es r∈Q und s∈R∖Q , sodass x<r<y und x<s<y

Meine Idee ist, r in Abhängigkeit von x und y darzustellen, mithilfe von Brüchen. Jedoch kann ich das leider nicht richtig anwenden und mit fehlt der richtige Ansatz.

Problem/Ansatz:

Answer 1

x,y ∈ℚ ==>   m =  (x+y)/2 ∈ ℚ

und: In jeder ε-Umgebung um ein z∈ℚ liegt auch ein z'∈ℝ\ℚ.

Wähle ein m' aus die Umgebung um m mit mit ε=|x-y| / 4 dann ist

x < m' < y auch erfüllt.

Bei 2 entsprechend, da ist das m entweder in ℚ oder eben in ℝ\ℚ.

Im ersten Fall ist alles wie in Teil 1 und anderenfalls benutze:

In jeder ε-Umgebung um ein z∈ℝ\ℚ. liegt auch ein z'∈ℚ.