Optimierungsprobleme mit quadratischen Funktionen

Question

wie muss ich bei folgender Aufgabe vorgehen?

Ein 18 cm langer Draht soll zu einem Rechteck gebogen werden. Für welche Seitenlänge x ist der Flächeninhalt 

a) genau 4,25 cm²  groß;

b) mindestens 11,25 cm² groß;

c) am größten und wie groß dann?

Vielen Dank

Answer 1

a) 

A(a,b)=a*b

a*b=4,25cm^2

O(a,b)=2*(a+b)

2a+2b=18cm

2 Gleichungen. Ich lasse die Einheiten einfach mal weg. Dafür dann einen Antwortsatz hinschreiben.

2(a+b)=18  b=(18cm)/(2) -a    b=9-a

a*b=4,25cm^2

Einsetzen:

a*(9-a)=4,25

-a^2+9a-4,25=0

a₁=8.25

a₂= 1/2

Diese jetzt jeweils einsetzten.

b=9-a

b₁=9-8,5=0,5

b₂=9-1/2=8,5

Es reicht also, wenn wir einen Wert einsetzten.

Probe

A(a,b)=a*b

A1(a,b)=0,5*8,5=4,25

Damit der Flächeninhalt 4,25cm^2 ist, muss eine Seite 0,5cm sein und die andere 8,5cm.

b) ist so ähnlich, vielleicht schaffst du das alleine, sonst frag einfach in den Kommentaren.

c) ist etwas anders. Das ist eine Extremwertaufgabe. 

Eine Bedingung ist, dass der draht 18cm ist. Eine andere, dass der Flächeninhalt möglichst groß sein soll.

A(a,b)=a*b

O(a,b)=2*(a+b) 

2*(a+b)=18   b=9-a

Einsetzten in die Flächeninhaltsfunktion.

A(a,b)=a*(-a+9)

A(a)=-a^2+9a

Sowas ähnliches hatten wir oben ja auch.

Hier müssen wir aber einen Hochpunkt bestimmen. Das macht man mit der ersten Ableitung. 

A(a)=-a^2+9a

A'(a)=-2a+9

Hier die Graphen.

~plot~ -x^2+9x;-2x+9 ~plot~

Unsere Notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist.

f'(x)=0

-2a+9=0

a=4,5

Die hinreichende für eine Hochstelle ist:

f'(x)<0

A''(a)=-2

A''(4,5)=-2<0 => Hochstelle.

Das jetzt wieder einsetzen.

b=9-a

b=9-4,5=4,5

Antwort: Die seiten a und b müssen 4,5cm lang sein, also ein Quadrat.

Gruß

Smitty

Comments

Hallo Smitty,

ganz herzlichen Dank für Deine ausführliche Antwort. Ich werde sie mir morgen 

ganz genau ansehen und "nachrechnen" (hat sich zum besseren Verständnis sehr 

bewährt ;-)). 

Eine Frage hat sich aber gleich bei der ersten Durchsicht ergeben: Kann man den Hochpunkt noch auf andere Weise als über die erste Ableitung bestimmen?

Von der "ersten Ableitung" war im Unterricht bisher nämlich noch keine Rede ;-)

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Hallo Kirstin,

bei einer Parabel (oder quadratischen Funktion), die nach unten geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der Hochpunkt

Answer 2

Hallo Krisin,

Seiten x und y des Rechtecks

U = 2x + 2y = 18  →  y = 9 - x

A = x * y = x * (9-x) = 4,25

9x - x² = 4,25

 x² - 9x + 4,25 = 0  

pq-Formel ergibt    x = 17/2   oder  x = 1/2   (y hat jeweils den umgekehrten Wert) 

Gruß Wolfgang 

Comments

Hallo Wolfgang,

vielen Dank, soweit einleuchtend, kommt gleich ins schlaue Heft. 

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Hallo Wolfgang,

warum muss ich denn hier die p/q-Formel anwenden? 

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x² - 9x + 4,25 = 0   ist eine Quadratische Gleichung

> warum muss ich denn hier die p/q-Formel anwenden? 

Musst du nicht. Man kann quadratische Gleichungen auch mit quadratischer Ergänzung lösen.

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Dann ist mir die p/q-Formel doch lieber ;-)

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Mir auch :-)

Answer 3

Ein 18 cm langer Draht soll zu einem Rechteck gebogen werden. Für welche Seitenlänge x ist der Flächeninhalt

a) genau 4,25 cm²  groß;

2x + 2y  = 18
x * y = 4.25

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

b) mindestens 11,25 cm² groß;

2x + 2y  = 18
x * y ≥ 11.25

2x = 18 - 2y
y = 9 - x

( 9 - x ) * x ≥ 11.15
-x^2 + 9x ≥ 11.15 | * -1
x^2 - 9x + 4.5 ^2 ≥ -11.15 + 4.5^2
( x - 4.5 ) ^2 ≥ 9  | √

x - 4.5 ≥ ± 3
x ≥ 7.5
und
x - 4.5 ≤ - 3
x ≤ 1.5

1.5 < x < 7.5

c) am größten und wie groß dann

2x + 2y  = 18
y = ( 9 - x )
A  = x * y
A ( x ) = x * ( 9 - x )
A ( x ) =  9x - x^2
A ´( x ) = 9 - 2x
Extremwert
9 - 2x = 0
x = 4.5
y = 4.5
A = 4.5 * 4.5 = 20.25 cm^2

Falls ihr noch keine Diff-Rechnung gehabt habt
1.5 < x < 7.5
Sind die Nullstellen einer Parabel
In der MItte ist das Maximum bei 4.5

Comments

Hallo Georg,

Dir auch vielen Dank für Deine Ausführungen. An einigen Stellen muss ich morgen noch etwas weiter überlegen, aber eine Frage habe ich gleich mal:

  x2 - 9x + 4.5 2 ≥ -11.15 + 4.52

Warum - 11,25? Warum nicht +   ?

Vielen Dank

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Ein kleiner Fehler meinerseits
-x^{2} + 9x ≥ 11.15
bis hierhin stimmt meine Antwort noch

Aus einem Negativwert -x^2 läßt sich
nicht die Wurzelziehen.

Eine Umformungsmöglichkeit wäre
-x^{2} + 9x ≥ 11.15  | + x^2 | - 9x
-x^2 + x^2 + 9x - 9x ≥ 11.15 + x^2 - 9x
0 ≥ 11.15 + x^2 - 9x
x^2 - 9x + 11.25 ≤ 0
Dann entweder die quadr.Ergänzung oder
die pq-Formel

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Hallo Georg,

ich habe eine Frage zu c):

Wir haben dazu aufgeschrieben:

-x² + 9

= -(x² - 9x + 20,25 - 20,25)

= -(x² -9x + 20,25) + 20,25

= - (x - 4,5) + 20,25

S( 4,5 / 20,25)

Was sagt mir das Ergebnis?

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ich schrieb

2x + 2y  = 18
y = ( 9 - x )
A  = x * y
A ( x ) = x * ( 9 - x )
A ( x ) =  9x - x^2
Gesucht ist der max-Wert dieser Funktion

Die Funktion ist eine Funktion 2.Grades
und somit eine Parabel.
Ihr habt die Normalform einer Parabel
in eine Scheitelpunktform überführt
9x - x^2
- x^2 + 9x
- ( x^2 - 9x )
- ( x^2 - 9x + 4.5 ^2 - 4.25 ^2 )
- ( x^2 - 9x + 4.5 ^2 ) + 4.25  ^2
- ( x - 4.5 ) ^2 + 20.25
A (x ) = - ( x - 4.5 ) ^2 + 20.25

Es wird nun der höchste erreichbare
Wert dieser Funktion gesucht.
Dieser wird erreicht wenn
( x - 4.5 ) ^2 = 0 ist. Dann kommt
20.25 heraus.
( x - 4.5 ) ^2 = 0
x - 4.5 = 0
x = 4.5
Bei x = 4.5 ist der Funktionswert 20.25
und damit maximal.
Scheitelpunkt der Parabel
S ( 4.5 | 20.25 )

Die Scheitelpunktfunktion hat gegenüber
der Normalform den Vorteil das der
Scheitelpunkt ablesbar ist

x = 4.5
2x + 2y = 18
y = 4.5

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Super, Georg, vielen Dank

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Und nun eine weitere Lösungsmöglichkeit
Vielleicht die einfachste.

A ( x ) =  9x - x^2
Dies ist eine Parabel. Die Nullstellen sind
9x - x^2 = 0
x * ( 9 - x ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden.
x = 0
und
9-x = 0
x = 9

( 0 | 0 ) und ( 9 | 0 )
Eine Parabel ist symmetrisch.
Der Scheitelpunkt ist in der Mitte der
beiden Nullstellen. Also bei x = 4.5.
Und nun noch f ( 4.5 ) berechnen.